Derivata

Ett matematiskt begrepp.

Derivatan av en funktion f(x) anger hur snabbt den ökar (eller minskar) när x ökar. Derivatan betecknas f´(x) eller df/dx.

Exempel:

Antag att f(t) anger en bils position som funktion av tiden t, derivatan f´(t) anger då bilens hastighet som funktion av tiden. Andraderivatan, f´´(t) eller d²f/dt², anger bilens acceleration.

Derivatan av f(x) i punkten x definieras som gränsvärdet:

Om gränsvärdet existerar är funktionen deriverbar i punkten x och derivatan har det framräknade värdet. Om funktionen är deriverbar i varje punkt i definitionsmängden är funktionen deriverbar.

Deriveringsregler:

(f + g)´ = f´ + g´
(fg)´ = f´g + fg´
(f/g)´ = (f´g - fg´)/g²

Derivator till några vanliga funktioner:

  f(x)       f'(x)
  =
  e^kx          ke^kx
  a^x          a^xln(a)
  ln(x)       1/x
  sin(x)      cos(x)
  cos(x)      -sin(x)
  tan(x)      sec²(x)
  cot(x)      -csc²(x)
  sec(x)      sec(x)tan(x)
  csc(x)      -csc(x)cot(x)

  sin^-1(x)      1/sqrt(1-x²)
  cos^-1(x)     -1/sqrt(1-x²)
  tan^-1(x)      1/(x²+1)
  cot^-1(x)     -1/(x²+1)
  sec^-1(x)      1/(x sqrt(x²-1)
  csc^-1(x)     -1/(x sqrt(x²-1)

  sinh(x)     cosh(x)
  cosh(x)     sinh(x)
  tanh(x)     sech²(x)
  coth(x)     -csch²(x)
  sech(x)     -sech(x) tanh(x)
  csch(x)     -coth(x) csch(x)

  sinh^-1(x)    1/sqrt(x²+1)
  cosh^-1(x)    1/sqrt(x²-1)
  tanh^-1(x)    1/(1-x²)
  coth^-1(x)    -1/(x²-1)
  sech^-1(x)    -1/(x sqrt(1-x²)
  csch^-1(x)    -1/(x sqrt(x²+1)

Se även: