円周率
円周率は数学や物理学のさまざまな分野で現れる数値であり、一般に良く知られた数学定数の一つである。数式や文章中ではギリシャ文字の π （ギリシャ語で円周を表す単語の頭文字）であらわすのが慣例となっておりパイと読む。他に古代ギリシャで π を研究したことからアルキメデス数とよばれたり、ドイツでは一般にルドルフ数と呼ばれている。円周率は文字通り直径１の円周の長さとして定義されるが、半径 1 の円の面積、または sin(x) = 0 を満たす最小の正の実数、等と定義することもできる。
π を64桁記すと以下のようになる。
3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592...
| Table of contents |
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2 π に関する式 3 π の計算式と計算の歴史 4 未解決の問題 5 π の起源 6 π の文化 7 外部リンク |
π の性質
π の小数点以下の桁は繰り返すことなく永遠に続く。つまり、π は無理数である。このことは1761年にハインリッヒ・ランベルトが証明した。さらに有理数を係数に用いた有限次数の多項式の解とはならない。つまり、π は超越数である。これは1882年にフェルディナント・リンデマンによって証明された。ここから、整数から割り算とべき根を繰り返す有限な計算によって π の正確な値を求めることはできないことが分かる。
π が超越数であることは、定規とコンパスのみを使って、円と同じ面積を持つ正方形を作図する、「円の正方化」（ギリシャの三大難問の一つ）が有限な代数的手法では不可能であることの証明でもある。
ドイツの数学者ルドルフ・ファン・コイレンは1600年代に35桁目まで π の正しい値を計算した。彼はこれを大変誇りとし、彼の墓標にはこの値が刻まれている。ドイツでは彼の名にちなんで円周率をルドルフ数と呼んでいる。
スロベニアの数学者ユリー・ベガは1789年に140桁まで正しい値を求め、137桁目までが正しかった。この記録はその後50年破られることがなかった。彼は1706年に発表されたジョン・マチンの式を用いてこれを計算した。
π の近似値を計算するのに効率的な方法はなかなかない。多くの方法は以下に示すマチンの公式のような体裁となる。この式は1949年にENIACで2037桁を計算する際に使用され、今でも収束が速いものとして知られている。
π に関する式
幾何：
解析学：
π は美しい連分数表示をもつ：
数論：
動的システム/エルゴード理論：
物理学：
(ハイゼンベルクの不確定性関係)
(一般相対性理論のアインシュタイン方程式)π の計算式と計算の歴史
超越性のために、π は無限に長い数値であり、その値は近似値でしか知ることができない。ほとんどの目的には 3.14 や 22/7 の数値を使い、これで十分である。技術系では 3.1416 や 3.14159 などを使用することが多い。天気予報や人工衛星などの計算では30桁程度の値を使用している。355/113 などは覚えやすく精度が高い分数である。
arctanはテイラー展開で展開する必要がある。これを極座標と複素数であらわすと、上記の式は次の式で始まる簡単な無限級数式となる。
(
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（ウォリス）
(スターリングの公式)
(
π のはじめの100万桁はProject_Gutenbergで見ることができる。2002年12月現在での記録は10進数で1,240,000,000,000(1兆2400億)桁もの計算がされている。これは2002年11月に日立のスーパーコンピュータによって計算された。近いうちに倍以上の桁を計算する予定でいる。
これらコンピューターによる π の計算はもはや数値そのものへの興味や桁数の争いではなく、新しいコンピューターが出来た際の性能評価のために行われているものと考えて良い。
1996年にデビット・H・ベイリーはピーター・ボールウェイン、シモン・プラウフらと共に π に関する新しい無限級数を発見した。
未解決の問題
最も差しせまった π に関する問題は、 π が正規な数値であるのかどうか、というものである。例えば、π の桁のどこかを切り出したとき、0 から 9 までの数値が統計的に同じだけ現れるかどうか、ということである。各桁に出現する数値が完全にランダムであればこれは成り立つはずである。10進法に限らず、あらゆる進法でもこれは成り立つはずである。しかし、π の10進数による展開において 0,...,9 が無限に出てくるのかどうかすら分かっていない。
ベイリーとクランドールの2000年の発表によると、ベイリー＝ボールウィン＝プラウフの式を用いて2進数で様々な桁の計算をした結果では、各数値の出現率はカオス理論に元づいていると推測できるようだ。
π の起源
非ユークリッド幾何学においては、三角形の内角の和は π 以外の値となる。また、半径と円周の比率も π 以外の値となる。しかしこれによって π の値が変わることはない。かわりに多くの式に影響を与える。特筆すべきは、宇宙の形状は π の値に何の影響も与えないことである。これは π が数学定数であり、物理定数ではないことに起因している。
π の文化
真剣に学ぶようなことではないかもしれないが、π の桁を記憶術に頼らずに暗記する方法が各種存在している。これらは π に関する遊びのようなもので、言語学や音声学に近く、数学の問題とは少し離れているかもしれない。
日本語では、語呂合わせの要領で非常に長い桁を暗記するのも比較的簡単である。非常に有名なものとして以下のような物がある。
| 産医師異国に向かう | 産後厄なく | 産婦みやしろに | 虫散々闇に鳴く | |
| 3.14159265 | 358979 | 3238462 | 643383279 | (30桁) |
英語圏では語呂合わせがうまくいかないため、英単語の文字数で覚える方法がいろいろと存在している。
Yes, I Know a number.
3.1415(4桁)
How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics!
3.14159265358979(14桁)
これら覚え方には多くの方法があり、日本語では上記のものの改編で90桁までのものや、歌にあわせたもの、数値を文字に置き換えて1000桁近く覚える方法など様々な方法がある。円周率の覚え方ギネスブックには4万桁以上を暗唱した人が記載されている。
3月14日は円周率の日および数学の日である。また7月22日（22/7 は近似値）は円周率近似値の日とされている。
外部リンク
