Zykloide
Eine Zykloide (lat. cyclus; griech. kýklos: Kreis) ist die Bahn, die ein Kreispunkt beim Abrollen eines Kreises auf einer Leitkurve, meist einer Geraden beschreibt.Eine gewöhnliche Zykloide entsteht, wenn ein Kreis auf einer Geraden abrollt. Anschaulich gesprochen bewegt sich ein Punkt auf einem Reifen eines fahrenden Fahrrades (näherungsweise das Ventil) auf einer gewöhnlichen Zykloide.
Eine verkürzte Zykloide entsteht, wenn die Bahn eines Punktes im Inneren des Kreises betrachtet wird, anschaulich etwa der Seitenstrahler beim Fahrrad. Eine verlängerte Zykloide setzt dagegen voraus, dass ein Punkt außerhalb des abrollenden Kreises sich mit dem Kreis mitbewegt. Diese beiden Kurven heißen auch Tronchoiden.
Die Form einer gewöhnlichen Zykloide ist gleicht einer Aneinanderreihung weiter Bögen, die verlängerte Zykloide weist an den Spitzen zwischen den Bögen noch Schleifen auf, während bei den verkürzten Zykloiden die Spitzen abgerundet sind.
Eine Brachistochrone ist die Spiegelung einer Zykloide an der x-Achse.
Rollt der Kreis dagegen außen auf einem anderen Kreis ab, entstehen Epizykloiden. Ihr Radius ist gleich der Summe des Radius des Leitkreises und des Durchmessers des bewegten Kreises. Historisch versuchte man die beobachteten Planeten-Bahnen mit teilweise eigentümlich anmutenden Schleifen durch Epizyklen zu erklären.
Rollt der Kreis innen auf dem anderen Kreis ab, entstehen blumig anmutende Kurven, so genannte Hypozykloiden. Dieser Effekt wird auch als Spielzeug vermarktet in Form von Zahnrädern aus Plastik, die in ihrem Inneren Löcher zum Durchstecken einer Bleistiftspitze enthalten. Die "Leitkurve" wird (in Form einer großen Scheibe mit ausgestanztem Zahnrad im Inneren) auf einem Blatt Papier festgesteckt und danach wird so lange mit dem eingesteckten Stift das abrollende Zahnrad bewegt, bis sich eine geschlossene Kurve ergibt.
Sowohl Epizykloiden als auch Hypozykloiden sind genau dann geschlossene Kurven, wenn sich das Verhältnis der Radien als Bruch aus zwei ganzen Zahlen schreiben lässt, wenn es also rational ist. Bei der technischen Umsetzung in Form von Zahnrädern ist dagegen die Anzahl der Zähne maßgeblich, so dass sich stets geschlossene Kurven ergeben.
Eine Sonderform der Hypozykloide entsteht, wenn der Radius des innen abrollenden Kreises genau ¼ des äußeren ist und der mitlaufende Punkt ganz außen liegt: das "Karo", wie man es von Spielkarten kennt.
Siehe auch: Lissajous-Figur
