Zwischenwertsatz

In der reellen Analysis ist der Zwischenwertsatz ein wichtiger Satz über die Existenz von Nullstellen stetigerer Funktionen. Er lautet:

Ist f: R -> R in einem abgeschlossenen Intervall [a, b] stetig und gilt

f(a) * f(b) < 0

(das ist gleichbedeutend damit, dass einer der beiden Funktionswerte positiv und der andere negativ ist), dann existiert eine reelle Zahl x im offenen Intervall (a, b), so dass f(x) = 0, also eine Nullstelle von f.

Man kann den Zwischenwertsatz unter Verwendung der Vollständigkeit der reellen Zahlen beweisen, das macht man z.B. durch Intervallschachtelung. Im Artikel Intervallschachtelung wird der Beweis geführt.

Beispiele

Die Cosinus-Funktion cos(x) ist im Intervall [0, 2] stetig, es ist cos(0) = 1 und cos(2) = -0,4161... < 0. Der Zwischenwertsatz besagt dann, dass der Cosinus mindestens eine Nullstelle im Intervall (0, 2) hat. Tatsächlich gibt es in dem Intervall genau eine Nullstelle, die den Wert π/2 hat. Man kann π (pi) über diesen Zusammenhang definieren.

Verallgemeinerung

Durch vertikale Verschiebung von f kann man zeigen, dass zu jedem y zwischen f(a) und f(b) ein x in [a, b] existiert mit f(x) = y.