Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre

Die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ist eine verbreitete Axiomatisierung der Mengenlehre. Sie baut auf den Axiomen der Aussagenlogik und Prädikatenlogik und zusätzlichen mengentheoretischen Axiomen auf, und ist nach Ernst Zermelo und Abraham Fraenkel benannt. Sie ist heute Grundlage fast aller Zweige der Mathematik.

Dieses Axiomensystem ist das Ergebnis einer Arbeit von Thoralf Skolem 1922, die auf Arbeiten von Abraham Fraenkel aus dem gleichen Jahr basiert, welche wiederum auf dem Axiomensystem aufbaut, das Ernst Zermelo 1908 aufgestellt hatte (Zermelo-Mengenlehre).

Ohne Auswahlaxiom wird diese Mengenlehre meist mit ZF abgekürzt, mit Auswahlaxiom kürzt man es mit ZFC ab (engl. Zermelo-Fraenkel + Choice).

Die Axiome der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre sind Aussagen der Prädikatenlogik. Es gibt unendlich viele Axiome, denn eines der "Axiome" ist ein Axiomenschema, d.h. ein Ausdruck, der zu jedem Prädikat mit bestimmten Eigenschaften ein Axiom angibt.

Extensionalitätsaxiom: Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten.
Axiom der leeren Menge: Es gibt eine Menge ohne Elemente. Diese wird meist als {} oder geschrieben.
Paarungsaxiom: Wenn x, y Mengen sind, dann gibt es eine Menge z, die genau x und y als Elemente hat (man schreibt diese Menge z als {x,y}).
Vereinigungsaxiom: Für jede Menge x gibt es eine Menge y, deren Elemente genau die Elemente der Elemente von x sind. (y ist die Vereinigung der Elemente von x.)
Unendlichkeitsaxiom: Es gibt eine Menge x, die {} enthält und mit jedem Element y auch die Menge y ∪ {y} enthält. (Der Schnitt aller dieser Mengen bildet die Menge der natürlichen Zahlen.)
Ersetzungsaxiom: Für jede Menge m und jede Abbildung P (definiert als Prädikat P(x,y), für das aus P(x,y₁) und P(x,y₂) stets y₁ = y₂ folgt) gibt es eine Menge, deren Elemente genau die Bilder der Menge m unter der Abbildung P sind. (Dies ist ein Axiomenschema. Es erlaubt auch die Bildung von Teilmengen durch das Aussonderungsaxiom.)
Potenzmengenaxiom: Jede Menge hat eine Potenzmenge, d.h. für jede Menge x gibt es eine Menge y, deren Elemente genau die Teilmengen von x sind.
Regularitätsaxiom: Jede nichtleere Menge x enthält ein Element y, so dass x und y disjunkte Mengen sind.
Auswahlaxiom: Jedes kartesische Produkt nichtleerer Mengen ist nichtleer.