Urbild

Urbild als Idee

Urbild ist eine Bezeichnung der Barockzeit für Archetypus, Original, Ideal oder für die Idee.

Urbild in der Kartographie

In der mathematischen Kartografie und Geodäsie ist es dieOberfläche jenes Körpers, der durch eine Projektion auf eine Ebene oder andere Regelfläche abgebildet werden soll.

Meist ist dieses Urbild eine Kugel - die Erdkugel, eine Einheitskugel (Radius = 1), die Sphäre des Sternhimmels. Statt der Erdkugel muss bei Genauigkeiten ab 0.3 Prozent¹ das Erdellipsoid genommen werden.

¹) Bei üblichen Karten und in der Navigation ist dies bereits etwas ungenauer als die Kartometrie mit gutem Maßstab oder Winkelmesser.

Die Messgenauigkeit der Geodäsie liegt bei 10^-5 bis 10^-9, also bei mindestens 0.001 % - weshalb das "Urbild der Geodäten immer ein Ellipsoid oder das Geoid sein muss. Die "Unebenheiten" (sprich Berge und Täler, Meerestiefen und Gebäude) werden schon vorher "eingeebnet" - was den Rückbezug zur ersten, "barocken" Sichtweise herstellt.

Urbild einer Funktion

In der Mathematik ist das Urbild ein Begriff im Zusammenhang mit Funktionen. Sei f: A → B eine Funktion und M eine Teilmenge von B. Dann bezeichnet man folgende Menge als das Urbild von M unter f:

Das Urbild einer einelementigen Menge M = {b} schreibt man auch als f^-1(b) und nennt es das Urbild von b unter f, muss aber beachten, dass dies eine Menge ist, die auch leer sein oder mehrere Elemente enthalten kann. Für eine bijektive Funktion f ist das Urbild eines Elements jedoch stets einelementig. Die Abbildung, die jedem Element von B sein eindeutig bestimmtes Urbild zuordnet, ist die Umkehrfunktion f^-1 von f.