Umgebung (Mathematik)

Umgebung ist ein Begriff der Mathematik, der in der Topologie allgemein definiert wird und auch in weiteren Teilgebieten wie der Analysis verwendet wird.

Für jeden Punkt x₀ einer beliebigen Menge M legen folgende vier Axiome die Umgebungsmengen fest:

1. Jede Umgebung von x₀ enthält x₀.
2. M ist Umgebung von x₀.
3. Mit zwei Umgebungen von x₀ ist auch deren Durchschnitt Umgebung von x₀.
4. Für jede Umgebung U gibt es eine Umgebung V, die Umgebung jedes Punktes von U ist.

Eine Topologie ist auf dieser Grundlage dann bestimmt durch die Definition:

• Eine Menge ist genau dann offen, wenn sie Umgebung jedes ihrer Punkte ist.

Wie unter Topologischer Raum beschrieben können die Umgebungen alternativ aufgrund axiomatischer Festlegung einer Topologie definiert werden. Diese beiden Axiomatisierungen sind also gleichwertig.

In einem Metrischen Raum (M, d) sind Raumeigenschaften der Menge M bereits durch die Metrik d festgelegt. Man zieht die topologischen Eigenschaften aus der Metrik heraus, indem man Umgebungen herleitet, wobei man zunächst für jeden Punkt der Menge die so genannten ε-Umgebungen definiert:

Eine Teilmenge von M ist genau dann eine Umgebung des Punktes x₀, wenn sie eine ε-Umgebung von x₀ enthält. Die so definierten Umgebungen erfüllen die oben aufgeführten Axiome 1-4 und bestimmen damit auf der Menge M eindeutig eine Topologie: Die durch die Metrik induzierte Topologie. Verschiedene Metriken können die gleiche Topologie induzieren.

Umgebungsbasis

Ein Menge von Umgebungen eines Punktes x heißt eine Umgebungsbasis von x, wenn jede Umgebung ein Element von als Teilmenge hat.

Man definiert:

• Ein topologischer Raum erfüllt das erste Abzählbarkeitsaxiom, wenn jeder seiner Punkte eine abzählbare Umgebungsbasis besitzt.

Beipiele:

• Ist {x} offen, dann ist Umgebungsbasis von x.
• Jeder metrische Raum erfüllt das erste Abzählbarkeitsaxiom.
  • Denn für jedes reelle ε einer ε-Umgebung gibt es ein rationales δ mit δ < ε und die rationalen Zahlen sind abzählbar.