Topologischer Raum
Ein Topologischer Raum ist der grundlegende Gegenstand der Teildisziplin Topologie der Mathematik. Er besteht aus einer beliebigen Grundmenge, der durch Spezifizierung einer so genannten Topologie eine abstrakte mathematische Raumstruktur aufgeprägt wird.
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2 Beispiele 3 Sprechweise 4 Literatur 5 Links |
Eine Topologie ist eine Familie
Eine Topologie
Weitere Begriffe im Zusammenhang mit topologischen Räumen sind im Topologie-Glossar zusammengefasst.
Auf jeder Grundmenge existieren als triviale Beispiele von Topologien die gröbste, die nur die leere Menge und die Grundmenge, und die feinste Topologie, die alle Teilmengen enthält. Letztere heißt die diskrete Topologie der Grundmenge.
Das System der offenen Teilmengen eines metrischen Raums ist eine Topologie.
Im Hinblick auf geometrische Anwendungen werden die Elemente der Grundmenge oft als Punkte bezeichnet.
Umgebungen eines Punktes werden dann definiert als Obermengen von offenen Mengen, die den Punkt enthalten.
Umgekehrt charakterisieren die Umgebungen die offenen Mengen:
H. Schubert: Topologie, Teubner, Stuttgart 1964, ISBN 3519122006
Weitere mathematische Räume siehe unter Raum (Mathematik)Definition
von als offen bezeichneten Teilmengen der Grundmenge X (und ist damit eine Teilmenge der Potenzmenge von X), die folgenden Axiomen genügt:
Eine Menge X zusammen mit einer Topologie auf X heißt topologischer Raum. Eine Teilmenge von X, deren Komplement offene Menge ist, heißt abgeschlossen.
ist feiner als eine Topologie 
, wenn jede offene Menge von auch offen in ist. heißt dann gröber als .Beispiele
Sprechweise
Literatur
Links
