Topologie (Teilgebiet der Mathematik)
Die Topologie (von griechisch topos: Ort, Platz und logos: Lehre, Wissen, Wort) ist ein Teilgebiet von Mathematik und Geometrie.
Sie ist die Lehre von Lage, Anordnung und Eigenschaften geometrischer Gebilde im Raum.
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2 Definition 3 Objekte der Topologie 4 Berühmte Topologen 5 Literatur 6 Weblinks |
(Die Einleitung ist sehr oberflächlich gehalten in der Hoffnung, dabei auch intuitiv zu sein.)
Die Topologie beschäftigt sich mit topologischen Räumen.
Die (mengentheoretische) Topologie formalisiert den Begriff der "Nähe" ("Nähe" ist dabei schwächer als Abstand).
Dies gelingt, indem man eine betrachtete Menge durch eine zusätzliche Struktur zu einem topologischen Raum macht.
Auf einem solchen Raum ist die Umgebung eines Punktes
Man betrachte z.B. die Menge der ganzen Zahlen
Nicht jede Abbildung zwischen topologischen Räumen ist verträglich mit der zusätzlichen Struktur (z.B. gibt es bijektive Abbildungen zwischen den ganzen und den rationalen Zahlen, aber die beiden Räume sehen ganz verschieden aus).
Eine Abbildung ist in diesem Sinne gutartig und wird stetig genannt, "wenn sie die Nähe erhält".
Eine Funktion , die
Zwei topologische Räume sind äquivalent und werden homöomorph genannt, wenn es eine bijektive stetige Abbildung gibt, deren Umkehrabbildung ebenfalls stetig ist.
Die mengentheoretische Topologie erlaubt die Konstruktion von sehr vielen Pathologien.
Dies macht sie in der größten Allgemeinheit zu einem relativ fruchtlosen Gebiet.
Topologen beschäftigen sich deshalb mit spezielleren Räumen, z.B. Mannigfaltigkeiten oder CW-Komplexen.
Die algebraische Topologie ist ein wichtiges Teilgebiet.
Sie ordnet topologischen Räumen algebraische Objekte zu, die in der Regel leichter untereinander zu vergleichen sind.
Dies ist leider noch nicht fertig; Geof fügt 15.1.04 1½ Sätze ein:
Die Topologie ist die Lehre von Lage und Anordnung geometrischer Gebilde im Raum.
Einleitung
Eine Auflistung und Erklärung von Begriffen aus der Topologie findet man im Topologie-Glossar.
eine Teilmenge, die, grob gesprochen, alle zu "nahen" Punkte enthält.
und die der rationalen Zahlen 
.
Da es bijektive Abbildungen zwischen und gibt, sind sie als Mengen ununterscheidbar.
Während die beiden obigen Beispiele den Begriff des Abstandes verwenden, besteht die Leistung der (mengentheoretischen) Topologie darin, das Konzept der Nähe auf den Kern reduziert zu haben.
Man stelle sich einen Körper im 
und 
sei 
. Alle Elemente sind also "weit" (Abstand
) voneinander entfernt und die Menge ist diskret: selber ist der einzige Punkt in einer kleinen Umgebung. und zu jedem Abstand 
ein weiteres Element , dessen Abstand zum ersten Element kleiner als ist. Hier liegt also kein Element diskret in der Menge, denn eine Umgebung von enthält alle Punkte, die Abstand zu haben ( kann so klein gewählt werden, wie man möchte: Man ist eben nur an den "wirklich nahen" Punkten interessiert, aber darf nicht 
sein.) Es ist trotzdem nicht möglich, zwei Elemente mit einer Kurve (die ganz in verläuft) zu verbinden.
vor, den man ausbeult und verformt (aber ohne ihn zu zerreissen).
Der Abstand zweier Punkte in diesem Objekt hat sich geändert, aber einige Grundeigenschaften sind geblieben, z.B. kann man zwei Punkte, die man vor der Verformung verbinden konnte auch weiterhin verbinden oder ein Punkt im Innern des Körpers bleibt im Innern.
auf und auf 
abbildet, ist z.B. nicht stetig, denn Zahlen, die "in der Nähe von liegen", werden "weit weg" von 
abgebildet.Definition
Sie behandelt die Eigenschaften geometrischer Objekte (Kurven, Flächen, Räume), die bei umkehrbar eindeutigen, stetigen Abbildungen erhalten bleiben.
Die Topologie gehört zur Mathematik bzw. Geometrie und hat enge Verbindungen zur Gruppentheorie und zu räumlichen Informationssystemen (GIS).Objekte der Topologie
Berühmte Topologen
Literatur
Weblinks
