Stetigkeit
Stetige Funktionen sind Funktionen mit weiter unten definierten Eigenschaften, die sich in vielen Bereichen der Physik und Mathematik als besonders nützlich herausgestellt haben.
Für spätere Verallgemeinerung wird im folgenden der Zusammenhang mit allgemeinen metrischen und topologischen Räumen angegeben.
Topologischen Räume sind durch so genannte offene Mengen charakterisiert.
Eine offene Menge G auf der reellen Zahlenachse ist dadurch charakterisiert, dass um jeden ihrer Punkte ein offenes Intervall existiert, das diesen Punkt enthält und das ganz in der Menge G liegt. Ein offenes Intervall wird über die euklidische Metrik d definiert:
Ein offenes Intervall um den Punkt
Hierüber lassen sich dann die Eigenschaften allgemeinerer Abbildungen zwischen topologischen Räumen motivieren (das wird weiter unten definiert).
Definitionen
Im folgenden werden verschiedene Definitionen von Stetigkeit angegeben:"Naive" Definition von Stetigkeit
Eine Funktion ist stetig, wenn der Graph der Funktion "ohne Absetzen des Stiftes" gezeichnet werden kann - also die Funktionswerte keine Sprünge machen. Diese Definition von "Stetigkeit" ist mathematisch natürlich nicht exakt, wird aber gerne zur Anschauung benutzt. Sie funktioniert natürlich nur bei Funktionen mit einer Veränderlichen.Stetigkeit reellwertiger Funktionen
Reellwertige Funktionen zeichnen sich dadurch aus, dass ihre Wertemenge eine Teilmenge der reellen Zahlen ist. Schränkt man den Funktionsbegriff auf die Abbildung von reellen Zahlen in den Bereich der reellen Zahlen ein (wie es i.A. in der Schule gemacht wird), so ist die Stetigkeit von f in einem Punkt 
, in dem f definiert ist, folgendermaßen definiert: 
sind in dieser Definition reelle Zahlen.
herum ist die Menge aller reellen Zahlen x, für die 
kleiner als eine vorgegebene positive reelle Zahl ist.Beispiele
Im folgenden bezeichne f:R->R eine Funktion
für alle x im Definitionsbereich, dann ist auch f/g stetig.
Im folgenden bezeichne f:D->R eine Funktion von einer Teilmenge D von R nach R
ist für alle x aus R stetig.
- f(x) = 1/x ist für x=0 nicht definiert. In der Schulmathematik sagt man dann, f wäre in der 0 unstetig, nach der exakten Definition ist der Begriff der Stetigkeit auf diese Stelle jedoch gar nicht anwendbar - f ist also weder stetig noch unstetig in der 0. f ist in seinem Definitionsbereich (R\\{0}) stetig.
- f(x) = sin(x)/cos(x) ist stetig in seinem Definitionsbereich, d.h. in allen x aus R, für die cos(x) ungleich 0 ist. Man bezeichnet f auch als tan.
- f(z) = exp(z) ist für alle z aus C stetig
)
Stetige Funktionen zwischen metrischen Räume
Ein Funktion heißt stetig, wenn sich ihr Funktionswert genügend wenig ändert, solange man nur das Funktionsargument genügend wenig ändert. Auch dies ist nur eine Beschreibung, eine mögliche exakte Definition mittels des Epsilon-Delta-Kriterium ist folgende:
Seien (X,dx), (Y,dy) metrische Räume, dann heißt
dabei bezeichnet Uδ(x_0) die offene δ-Umgebung um x0, d.h.
Stetige Funktionen zwischen topologischen Räumen
Noch allgemeiner lässt sich Stetigkeit zwischen topologischen Räumen wie folgt definieren (die Stetigkeit in metrischen Räumen ist eine Folgerung dieser Definition):
Sei f eine Abbildung von dem topologischen Raum X in den topologischen Raum Y. Dann heißt f stetig, wenn das Urbild von f von jeder in Y offenen Menge U wieder offen in X ist, oder etwas formaler:
Sei f eine reellwertige Funktion, die auf ihrem Definitionsbereich D(f) stetig ist, D(f) sei eine Teilmenge der reellen Zahlen,
dann gilt für jede Folge reeller Zahlen Wichtige Sätze über stetige Funktionen
Satz 1 (Folgenkonvergenz stetiger reellwertiger Funktionen)
sei aus dem Definitionsbereich von f, 
aus D(f) die gegen konvergiert, dass die Folge der Funktionswerte 
gegen 
konvergiert.
