Schiefkörper

Als Schiefkörper, bzw. Divisionsring (nicht identisch mit dem Begriff Divisionsalgebra) wird ein Tripel ( S , + , · ) bezeichnet, wenn es die Bedingungen der nachfolgenden Tabelle erfüllt:

S ist eine Menge mit mindestens zwei Elementen.
+ ist eine abgeschlossene zweistellige Funktion auf S ("Addition").
· ist eine abgeschlossene zweistellige Funktion auf S ("Multiplikation").
Die Addition ist assoziativ:
Für alle Elemente a, b und c aus S gilt:
a + (b + c) = (a + b) + c
Die Multiplikation ist assoziativ:
Für alle Elemente a, b und c aus S gilt:
a · (b · c) = (a · b) · c
Neutrales Element der Addition ("Null"):
Es gibt ein Element 0 aus S,
so dass für alle Elemente a aus S gilt:
a + 0 = a
Neutrales Element der Multiplikation ("Eins"):
Es gibt ein Element 1 aus S,
so dass für alle Elemente a aus S gilt:
a · 1 = 1 · a = a
Inverse Elemente der Addition:
Zu jedem Element a aus S
gibt es ein Element -a mit
a + (-a) = 0
Inverse Elemente der Multiplikation:
Zu jedem Element a ungleich 0 aus S
gibt es ein Element a^-1 mit

a · a^-1 = a^-1 · a = 1
Die Addition ist kommutativ:
Für alle Elemente a und b aus S gilt:

a + b = b + a

Distributivgesetze:
Für alle Elemente a, b und c aus S gilt:

a · (b + c) = a · b + a · c und
(a + b) · c = a · c + b · c

Falls ein Schiefkörper zusätzlich kommutativ bezüglich der Multiplikation ist

(für alle a, b aus S gilt: a · b = b · a),

handelt es sich um einen Körper. Jeder Körper ist zugleich ein Schiefkörper. Es gibt Schiefkörper, die keine Körper sind, z.B. die Quaternionen.

Aus der Voraussetzung, dass S mindestens zwei Elemente besitzt, folgt 0 ungleich 1.

Es ist üblich, nicht nur das Tripel ( S , + , · ) als Schiefkörper zu bezeichnen, sondern auch S selbst.

siehe auch Hierarchie mathematischer Strukturen

S ist eine Menge mit mindestens zwei Elementen. + ist eine abgeschlossene zweistellige Funktion auf S ("Addition"). · ist eine abgeschlossene zweistellige Funktion auf S ("Multiplikation").
Die Addition ist assoziativ: Für alle Elemente a, b und c aus S gilt: a + (b + c) = (a + b) + c	Die Multiplikation ist assoziativ: Für alle Elemente a, b und c aus S gilt: a · (b · c) = (a · b) · c
Neutrales Element der Addition ("Null"): Es gibt ein Element 0 aus S, so dass für alle Elemente a aus S gilt: a + 0 = a	Neutrales Element der Multiplikation ("Eins"): Es gibt ein Element 1 aus S, so dass für alle Elemente a aus S gilt: a · 1 = 1 · a = a
Inverse Elemente der Addition: Zu jedem Element a aus S gibt es ein Element -a mit a + (-a) = 0	Inverse Elemente der Multiplikation: Zu jedem Element a ungleich 0 aus S gibt es ein Element a^-1 mit a · a^-1 = a^-1 · a = 1
Die Addition ist kommutativ: Für alle Elemente a und b aus S gilt: a + b = b + a
Distributivgesetze: Für alle Elemente a, b und c aus S gilt: a · (b + c) = a · b + a · c und (a + b) · c = a · c + b · c