Reihe (Mathematik)

Eine mathematische Reihe ist definiert als die Summe von Gliedern einer Folge. Für die Folge a_n: N → R ist die zugehörige Reihe definiert als

Man unterscheidet zwischen endlichen und unendlichen Reihen. Bei einer endlichen Reihe wird vom ersten bis zum n-ten Folgenglied summiert. Der Wert einer unendlichen Reihe, bei der unendlich viele Folgenglieder summiert werden, wird durch den Grenzwert ihrer Teilsummen bestimmt:

Eine Reihe heißt konvergent, wenn die Folge ihrer Teilsummen konvergiert. In diesem Fall heißt der Grenzwert Summe der Reihe. Eine Reihe heißt divergent, wenn sie nicht konvergiert. In diesem Fall strebt die Folge der Teilsummen nach plus oder minus unendlich (bestimmte Divergenz) oder aber die Folge der Teilsummen divergiert unbestimmt (alterniert z.B. zwischen endlich vielen Werten).
Ein Beispiel für eine alternierende Reihe ist Summe über die Folge +1,-1,+1,-1,... Die Reihe alterniert zwischen den Werten 1 und 0.
Ist eine divergente Reihe bestimmt divergent, dann spricht man auch von "uneigentlicher Konvergenz" gegen ∞ bzw. -∞.

Mit verschiedenen Konvergenzkriterien lässt sich feststellen ob eine Reihe konvergiert.

Die Theorie von unendlichen Reihen wird im Artikel unendliche Reihe näher behandelt.

Beispiel

Eine klassische Reihe ist die geometrische Reihe, der Name ergibt sich aus der geometrischen Folge (a_n) = (qⁿ) (für n ∈ N). Die unendliche, geometrische Reihe ist also:

Weitere Beispiele endlicher Reihen findet man im Artikel Addition.