Reelle Zahlen

Reelle Zahlen sind eine Erweiterung der rationalen Zahlen. Sie werden als Äquivalenzklassen von rationalen Cauchy-Folgen definiert. Und zwar sind zwei Cauchy-Folgen äquivalent, wenn ihre (punktweise) Differenz eine Nullfolge bildet. Wie man leicht nachprüft, ist diese Relation tatsächlich reflexiv, transitiv und symmetrisch.

In diesem Sinne sind die reellen Zahlen die Vervollständigung der rationalen.

Weiter ist die durch die rationalen Zahlen induzierte Addition und Multiplikation wohldefiniert, das heißt unabhängig von der Auswahl des Repräsentanten. Mit diesen wohldefinierten Operationen bilden die reellen Zahlen einen Körper. Ebenfalls durch rationale Zahlen wird eine Ordnung induziert. Insgesamt sind die reellen Zahlen damit ein angeordneter Körper.

Für die Menge der reellen Zahlen wird das Symbol R (stark betont dargestellt) verwendet. Weil dies handschriftlich nicht darstellbar ist, hat sich das Symbol eingebürgert.

Der Bereich der reellen Zahlen besteht also aus den rationalen (Bruchzahlen) und den irrationalen (z. B. Pi und √2) Zahlen.

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