Rationale Zahl

Eine rationale Zahl ist eine Zahl, die als Verhältnis zweier ganzer Zahlen ausgedrückt werden kann (für gewöhnlich schreibt man a / b), wobei der Nenner (hier b) ungleich Null ist. Man nennt rationale Zahlen auch Brüche.

Die Menge aller rationalen Zahlen bildet einen Körper, der mit Q (stark betont dargestellt) bezeichnet wird. Weil dies handschriftlich nicht darstellbar ist, hat sich das Symbol eingebürgert.

Table of contents

1 Konstruktion von Q aus Z
2 Eigenschaften
3 Verwandte Themen:

Konstruktion von Q aus Z

Mathematisch gesehen, definiert man Brüche als geordnete Paare ganzer Zahlen (a, b), wobei wieder b ungleich Null ist. Dann definiert man Addition und Multiplikation mit diesen Paaren mit Hilfe folgender Regeln:

(a, b) + (c, d) = (a · d + b · c, b · d)

(a, b) · (c, d) = (a · c, b · d)

Einhergehend mit unserer Erwartung, dass 2/4 = 1/2 sein soll, führen wir eine Äquivalenzrelation ~ auf diesen Paaren mit der folgenden Regel ein:

(a, b) ~ (c, d) genau dann wenn, a · d = b · c.

Mit den obigen Rechenregeln bildet die Menge der Äquivalenzklassen modulo ~ einen Körper Q, dessen Elemente rationale Zahlen genannt werden.

Eigenschaften

Man kann zeigen, dass Q der kleinste Körper ist, der die natürlichen Zahlen N enthält. Q ist der Quotientenkörper der ganzen Zahlen Z.

Rationale Zahlen liegen "dicht" auf der Zahlengerade, das heißt: Zwischen zwei rationalen Zahlen a und b liegt stets eine weitere rationale Zahl c (und somit beliebig viele). Man nehme einfach das arithmetische Mittel dieser beiden Zahlen:

c := (a+b)/2

Was zunächst überraschend klingt, ist die Tatsache, dass die Menge der rationalen Zahlen "gleichmächtig" zu der Menge der natürlichen Zahlen ist. Das heißt: es gibt eine bijektive Abbildung zwischen N und Q, die jeder rationalen Zahl q eine natürliche Zahl n zuweist und umgekehrt. Siehe dazu auch: Cantor-Diagonalisierung