Primfaktorzerlegung

In der Mathematik versteht man unter der Primfaktorzerlegung, auch als Zerlegung in Primfaktoren bezeichnet, die Darstellung einer positiven natürliche Zahl als Produkt von Primzahlpotenzen.

In der Zahlentheorie ist die Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl die Darstellung dieser Zahl als Produkt von Primzahlen. Z.B. ist

1200 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 5

6936 = 2 · 2 · 2 · 3 · 17 · 17

Die in der Primfaktorzerlegung einer Zahl auftretenden Primzahlen nennt man die Primfaktoren dieser Zahl. Zum Beispiel hat 6936 die Primfaktoren 2, 3 und 17.

Dass die Primfaktorzerlegung natürlicher Zahlen bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig ist, ist Aussage des Fundamentalsatzes der Arithmetik.

Table of contents

1 Kanonische Darstellung 2 Eigenschaften 3 Verallgemeinerung

Kanonische Darstellung

Meist fasst man gleiche Primfaktoren als Potenz zusammen. Den Exponenten eines Primfaktors p von n schreibt man als v_p(n), man nennt ihn auch die p-adische Exponentenbewertung von n. Er spielt eine wichtige Rolle in der Theorie der p-adischen Zahlen. Man setzt noch v_p(n) = 0, falls p kein Primfaktor von n ist. Damit erhält man die folgende kanonische Darstellung:

wobei das Produkt über die Menge P aller Primzahlen erstreckt wird. Dieses unendliche Produkt hat nur endlich viele von 1 verschiedene Faktoren, ist also eigentlich endlich. Oft beschränkt man sich daher bei der Angabe dieses Produkts auf die Primteiler von n:

Zum Beispiel sind

1200 = 2⁴ · 3 · 5²

6936 = 2³ · 3 · 17²

die kanonischen Darstellungen von 1200 und 6936.

Lässt man auch negative Exponenten zu, dann ist sogar jede positive rationale Zahl eindeutig als Produkt von Primzahl-Potenzen darstellbar. Die kanonische Darstellung von 1200/6936 lautet dann

1200/6936 = 2 · 5² · 17^-2

Eigenschaften

Die Primfaktorzerlegung der 1 besteht aus dem leeren Produkt (welches hier per Definition den Wert 1 hat) und die einer Primzahl p besteht aus dem einzigen Faktor p. Eine natürliche Zahl, die nicht selbst Primzahl ist, nennt man zusammengesetzt; ihre Primfaktorzerlegung besteht aus mehr als einem Faktor (möglicherweise auch mehrmals demselben).

Verallgemeinerung

In einem kommutativen unitären Ring kann man den Begriff des Primelements definieren und fragen, ob jedes Element eine Primfaktorzerlegung hat, und ob diese eindeutig ist. Dabei stellt man fest, dass dies nicht immer so sein muss, z.B. hat die Zahl 4 im Ring Z[√-3] keine Primfaktorzerlegung.

Falls jedoch eine Primfaktorzerlegung existiert, dann ist diese (bis auf Reihenfolge und Einheiten) eindeutig.

In einem faktoriellen Ring existiert stets eine Primfaktorzerlegung.

Siehe auch: Faktorisierungsverfahren