Prädikatenlogik

Die Prädikatenlogik ist ein Teilgebiet der Logik. Man kann sie als Erweiterung der Aussagenlogik ansehen, die zusätzlich zur Verknüpfung von Aussagen (z.B. durch und oder oder) auch die Eigenschaften von Objekten und des Geltungsbereiches betrachtet, wobei erstere durch Prädikatssymbole und Funktionssymbole, letztere durch Quantoren beschrieben werden. Die Grundlagen für eine formale Sprache der Prädikatenlogik (erster Ordnung) wurde von Ludwig Gottlob Frege 1879 in seiner "Begriffsschrift" gelegt.

Die Prädikatenlogik beschäftigt sich mit Aussagen wie:

"Es gibt ein Objekt mit der Eigenschaft ...."
"Für alle Objekte XY gilt ...."

Beispiel:

"Alle Metalle leiten den Strom."
"Kupfer ist ein Metall."

Daraus lässt sich auch ohne den Formalismus der Prädikatenlogik schließen:

"Kupfer leitet den Strom."

In diesem Beispiel stellt in der ersten Aussage "Alle" einen Quantor dar, "leiten den Strom" ist ein Prädikat zu "Metalle". In der zweiten Aussage ist "ist ein Metall" ein Prädikat zu "Kupfer".

Die Prädikatenlogik gibt einen formalen Rahmen für diese konkrete Schlussfolgerung und darüber hinaus für viele andere weniger offensichtliche Fälle.

Häufig spricht man präziser von Prädikatenlogik erster Stufe (englisch: first-order predicate calculus oder first order logic, FOL). Diese zeichnet sich dadurch aus, dass Sätze des Typs "für jede Eigenschaft E, gilt folgendes..." nicht behandelt werden. Trotz dieser Einschränkung lässt sich aber mit der Prädikatenlogik erster Stufe die ganze Mengentheorie formalisieren und damit gewissermaßen fast das ganze Gebiet der Mathematik. Die Prädikatenlogik ist die klassische Logik, der die Mathematik zugrunde liegt.

Wie jeder Logikkalkül besteht die Prädikatenlogik aus

Angaben, wie man systematisch formal korrekte Aussagen konstruiert,
einer Menge von Axiomen, von denen jedes einzelne Axiom ebenfalls eine formal korrekte Formel darstellt,
einer Menge von Regeln, die erlauben Sätze (Theoreme) aus früher hergeleiteten Sätzen oder den Axiomen herzuleiten.

Formal fügt die Prädikatenlogik der Aussagenlogik, die den Wahrheitsgehalt kombinierter Aussagen untersucht, folgende Elemente hinzu:

Die Sätze sind hier in Erweiterung zur Aussagenlogik mit Quantoren versehen, die Aussagen über die Lösungszahl machen. Der ALL-Quantor sagt, dass für alle betrachteten Elemente oder Elementkombinationen eine (zusammengesetzte) Aussage zutrifft.
Der EXISTENZ-Quantor sagt, dass mindestens für ein Element der betrachteten Elemente oder Elementkombinationen eine (zusammengesetzte) Aussage zutrifft.

Table of contents

1 Anwendung
2 Weiterführende Informationen

2.1 Siehe auch
2.2 Weblinks

Anwendung

Neben der Anwendung als Instrument für die Informatik, Mathematik und Linguistik findet die Prädikatenlogik insbesondere in der Konzeption und Programmierung von Expertensystemen und künstlicher Intelligenz eine Rolle.

Formeln der Prädikatenlogik lassen sich beispielsweise mit der Programmiersprache Prolog automatisch handhaben.

Eine Form der Wissensrepräsentation kann mit einer Sammlung von Ausdrücken in Prädikatenlogik erfolgen.

Der Relationenkalkül, eine der theoretischen Grundlagen von Datenbankabfragesprachen wie etwa SQL, bedient sich ebenfalls der Prädikatenlogik als Ausdrucksmittel.

Weiterführende Informationen

Siehe auch

Logik, Fehlschluss, Syllogismus