Potenzmenge

Potenzmenge ist ein Begriff aus der Mengenlehre.

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1 Definiton 2 Beispiel 3 Eigenschaften

Definiton

Sei X eine beliebige Menge. Dann nennt man

die Potenzmenge von X.

(lies: P von X ist definiert als die Menge aller U, für die gilt: U ist Teilmenge von X.)

Das heißt mit anderen Worten: die Potenzmenge einer Menge X ist die Menge aller Teilmengen von X. Die Potenzmenge ist ein Mengensystem, das heißt: Sie ist selber eine Menge und ihre Elemente sind die Teilmengen von X.

Beispiel

Ist A = {a, b}, dann ist P(A) = {{a, b}, {a}, {b}, {} }.

Eigenschaften

Ist A eine endliche Menge mit n Elementen, dann hat P(A) 2ⁿ Elemente.

Ist A eine unendliche Menge, dann hat P(A) eine größere Mächtigkeit als A. Nach der allgemeinen Kontinuumshypothese (GCH) ist |P(A)| die nach |A| nächstgrößere Mächtigkeit.

Man kann die Potenzmenge von A identifizieren mit der Menge aller Funktionen von A in die Menge {0, 1}, indem man eine Teilmenge M von A mit ihrer charakteristischen Funktion 1_M gleichsetzt:

Die Existenz der Potenzmenge jeder Menge wird in der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre als eigenes Axiom gefordert, nämlich durch das Potenzmengenaxiom.