Potenz (Mathematik)

Potenzieren ist eine mathematische Rechenoperation, die sich zur Multiplikation analog wie diese zur Addition verhält. Es handelt sich also um eine "Kurzschreibweise" für wiederholtes Multiplizieren:

a nennt man die Basis (Grundzahl) und b den Exponenten (Hochzahl). Das Ergebnis ist die Potenz. a ist eine reelle und b ist eine ganze Zahl. Wenn hochgestelltes Schreiben nicht möglich ist (z.B. ASCII-Text), verwendet man oft a^b.

Da das Kommutativgesetz beim Potenzieren nicht gilt (2³ = 2×2×2 = 8, 3² = 3×3 = 9) gibt es zwei Umkehrrechnung: das Wurzelziehen, um Gleichung der Bauart x^a=b zu lösen, und das Logarithmieren für Gleichungen a^x=b.

Table of contents

1 Rechenregeln
2 nicht ganzahlige Exponenten
3 komplexe Zahlen
4 besondere Potenzen
5 siehe auch

Rechenregeln

Sind a und b reelle Zahlen und n, r und s natürliche Zahlen, gilt:

, falls a≠0

Der letzte Punkt folgt aus

Da man nicht durch Null dividieren darf, hat 0⁰ keinen durch die Potenzgesetze definierten Wert. Meist definiert man 0⁰ = 1, es gibt aber auch Anwendungen, in denen andere Definitionen sinnvoller sind.

nicht ganzahlige Exponenten

Sind n und m ganze Zahlen (n ≠ 0), sowie a eine positive, reelle Zahl, dann gilt:

'\'siehe auch'' Wurzel (Mathematik)

komplexe Zahlen

Ist a+bi = r·e^φ mit reellen Zahlen a, b, r (r>0), φ, dann gilt

Das Wurzelziehen ist bei komplexen Zahlen nicht eindeutig, es ergeben sich n verschiedene n-te Wurzeln einer komplexen Zahl a+bi ≠ 0:

besondere Potenzen

Im alltäglichen Leben werden Potenzen mit der Basis 10 (1, 10, 100, 1000,...) wohl am häufigsten verwendet. Sie bilden die Grundlage unseres Zahlensystems, dem Dezimalsystem.

Zu digitalen Verarbeitung von Daten am Computer wird das Binärsystem mit der Basis 2 verwendet. Die Größeneinheiten digitaler Speichersysteme sind Potenzen zur Basis zwei. Ein Kibibyte KiB (noch oft veraltend Kilobyte KB genannt) sind 2^10 = 1024 Byte.

Für die Mathematik sind besonders Potenzen mit der Basis e, der Eulerschen Zahl (~2.71828), wichtig.