Parallelenaxiom

Es besagt: wenn eine Gerade zwei Geraden trifft und mit ihnen auf derselben Seite innere Winkel bildet, die zusammen kleiner sind als zwei rechte, dass dann die beiden Geraden, ins Unendliche verlängert, schließlich auf der Seite zusammentreffen, auf der die Winkel liegen, die kleiner als zwei rechte sind.

Eine andere Formulierung ist: "Zu einer gegebenen Geraden gibt es durch einen gegebenen Punkt außerhalb dieser Geraden genau eine Parallele."

Schon seit Euklid gab es ein Unbehagen über dieses Axiom, da es nicht so einfach ist wie die anderen euklidischen Axiome. Es gab viele Versuche, dieses Axiom aus den anderen Axiomen herzuleiten. Der Versuch, dieses Axiom zu beweisen, indem man aus seiner Nichtgültigkeit einen Widerspruch konstruiert, führte schließlich zur Entwicklung der nichteuklidischen Geometrien.
Hierbei gibt es zwei Möglichkeiten, das Axiom zu ersetzen:

• Zu einer Geraden und einem Punkt außerhalb der Geraden gibt es keine Parallele (je zwei Geraden schneiden sich)
• Zu einer Geraden und einem Punkt außerhalb der Geraden gibt es mehrere Parallelen.