Ordnungsrelation

In der Mathematik sind Ordnungsrelationen Verallgemeinerungen der "kleiner-gleich"-Beziehung. Sie erlauben es, Elemente einer Menge miteinander zu vergleichen.

Eine Ordnungsrelation ist formal eine zweistellige Relation

auf einer Menge M mit bestimmten, unten genannten Eigenschaften.

Ist eine Menge M mit einer Ordnungsrelation R gegeben, dann nennt man das Paar (M, R) eine geordnete Menge. Statt a R b schreibt man meist (je nach Art der Ordnung) a ≤ b oder a < b.

Eine (totale) Ordnung auf einer Menge liefert eine bestimmte Anordnung der Elemente, z.B. die Anordnung der Buchstaben A bis Z im lateinischen Alphabet. Die Reihenfolge der Buchstaben ist willkürlich festgelegt, und jede andere Reihenfolge wäre ebenfalls eine Ordnung.

Es folgt eine Auflistung verschiedener Arten von Ordnungsrelationen mit Beispielen. (Für Definitionen der Eigenschaften siehe den Artikel Relation (Mathematik).)

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• Eine partielle Ordnung, Halbordnung, Teilordnung oder Ordnungsrelation im engeren Sinne (englisch partial order) ist reflexiv, antisymmetrisch und transitiv.

  Bsp: Die Teilmengenrelation in einer Potenzmenge. Die Relation "komponentenweise kleinergleich" auf dem Vektorraum Rⁿ.

• eine strenge Halbordnung ist irreflexiv und transitiv.

  Bsp: Die Relation "Echte Teilmenge" in einer Potenzmenge. Die Relation "komponentenweise kleinergleich, aber nicht gleich" auf dem Vektorraum Rⁿ.

• eine Quasiordnung ist reflexiv und transitiv.

  Bsp: Für a, b aus C, a R b falls |a| ≤ |b| (s. Absolutbetrag).

• eine totale oder lineare Ordnung ist total (auch linear genannt), reflexiv, antisymmetrisch und transitiv.

  Bsp: "Kleinergleich" auf Z.

• eine strenge Totalordnung ist total, irreflexiv und transitiv.

  Bsp: "Kleiner" auf Z.

• eine Wohlordnung ist eine totale Ordnung, bei der jede nichtleere Teilmenge ein kleinstes Element besitzt.

  Bsp: "Kleinergleich" auf N.

• eine fundierte Ordnung ist eine Halbordnung, bei der jede nichtleere Teilmenge ein minimales Element besitzt.

  Bsp: Die Relation "Gleich oder Element von" in einer Menge von Mengen.

Beachte: Verschiedene Autoren benutzen den Begriff "Ordnung" unterschiedlich. Er kann eine Halbordnung oder eine totale Ordnung bezeichnen. Man hat also oft die Bezeichnungen

"Ordnung" (= Halbordnung) - "totale Ordnung"

oder die Bezeichnungen

"Halbordnung" - "Ordnung" (= totale Ordnung).