Multiplikation

Die Multiplikation ist eine der vier Grundrechenarten in der Arithmetik. Die Multiplikation natürlicher Zahlen entsteht durch das wiederholte Addieren des gleichen Summanden:

a und b nennt man Faktoren oder Multiplikanden, das Ergebnis heißt Produkt.

Zum Beispiel schreibt man 3 · 4 für 4 + 4 + 4, und spricht diesen Term als "dreimal vier".

Anstelle von 3 · 4, wird manchmal auch 3 × 4 geschrieben. In Computerprogrammen verwendet man oft das Zeichen *, in anderen Texten sollte man es jedoch vermeiden. Bei der Multiplikation mit Variablen wird der Punkt oft weggelassen (5x, xy).

Die anschauliche Verallgemeinerung der Multiplikation und ihrer Rechenregeln auf die rationalen und reellen Zahlen erreicht man durch Betrachten eines Rechtecks mit den Seitenlängen a und b (in einer vorgegebenen Längeneinheit). Das Produkt a·b ist definiert als der Flächeninhalt dieses Rechtecks (in der entsprechenden Flächeneinheit).

Die Multiplikation rationaler Zahlen lässt sich auch formal mit Hilfe von Brüchen definieren. Ebenso kann man die Multiplikation während des Konstruktionsvorganges der reellen aus den rationalen Zahlen definieren.

Die Umkehrrechnung zum Multiplizieren ist das Dividieren, das auch als Multiplizieren mit den Kehrwert aufgefasst werden kann.

Table of contents

1 Rechengesetze 2 Mehr oder weniger als zwei Faktoren 3 Verallgemeinerungen 4 siehe auch

Rechengesetze

• Assoziativgesetz: a·(b·c) = (a·b)·c = a·b·c (siehe Klammer (Mathematik))
• Kommutativgesetz: a·b = b·a
• Distributivgesetz: a·(b+c) = a·b + a·c
• neutrales Element: a·1 = a
• (-1)·a = -a
• a·0 = 0
• Durch 0 darf nie dividiert werden.

Auch das Produkt von einem einzigen oder von gar keinen Faktoren ist definiert, obwohl man dazu nicht mehr multiplizieren muss: Das Produkt einer Zahl ist diese Zahl selbst, und das Produkt von null Faktoren ist 1 (allgemein das neutrale Element der Multiplikation).

Es ist auch möglich, ein unendliches Produkt zu bilden. Dabei spielt die Reihenfolge der Faktoren allerdings eine Rolle, man kann die Faktoren also nicht mehr beliebig vertauschen, und auch beliebige Zusammenfassungen zu Teilprodukten sind nicht immer möglich. (Ähnlich wie bei unendlichen Summen.)

Verallgemeinerungen

Man definiert die Multiplikation komplexer Zahlen, indem man die imaginäre Einheit i als Variable betrachtet, und die Faktoren in der Form a+bi formal ausmultipliziert.

Durch Forderung einiger der oben angegebenen Rechengesetze gelangt man zu algebraischen Strukturen mit zwei Verknüpfungen, einer Addition und einer Multiplikation. In einem Ring gibt es eine Addition, mit der die Menge eine abelsche Gruppe bildet, und eine Multiplikation, die assoziativ und distributiv ist. Hat die Multiplikation ein neutrales Element, nennt man den Ring unitär. Ist zusätzlich die Division immer möglich, erhält man einen Schiefkörper. Ist zusätzlich die Multiplikation kommutativ, erhält man einen Körper.

In Vektorräumen gibt es zwei Arten von Produkten: das Skalarprodukt und (allerdings nur im R³) das Kreuzprodukt (vektorielles Produkt).

Wiederholtes Multiplizieren mit dem gleichen Faktor führt zum Potenzieren, z.B. ist

2·2·2·2·2·2 = 2⁶ = 64

Linearfaktor, Primfaktorzerlegung