Kreuzprodukt
Das Kreuzprodukt
(auch Vektorprodukt oder äußeres Produkt) zweier Vektoren 
und 
in einem dreidimensionalen Vektorraum ist ein Vektor, der senkrecht auf der von den beiden Vektoren aufgespannten Ebene steht. Die Länge dieses Vektors entspricht der Fläche des Parallelogramms mit den Seiten und .
Es gibt zwei solche Vektoren, die in entgegengesetzte Richtung weisen. Davon wird einer ausgewählt, so dass und mit dem Vektor ihres Kreuzprodukts ein Rechtssystem bilden.
Das Kreuzprodukt ist neben dem Skalarprodukt 
(inneres Produkt) das zweite wichtige Produkt von zwei Vektoren. Die Kreuz- und Skalarprodukte hängen auch mit dem Spatprodukt dreier Vektoren zusammen.
| Table of contents |
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2 Orientierung 3 Komponentenweise Berechung 4 Graphische Darstellung 5 Wichtige Eigenschaften 6 Verallgemeinerung 7 Weblinks |
Das Vektorprodukt wird mit einem Kreuz als Multiplikationszeichen geschrieben:
Im gewöhnlichen dreidimensionalen Raum R3 kann man das Kreuzprodukt von a und b so definieren:
Mathematische Darstellung
(
ist auch ein Vektor)
wobei sin(θ) der Sinus des von den beiden Vektoren eingeschlossenen Winkels θ, 
der zu beiden Vektoren senkrechte Einheitsvektor, und 
, 
die jeweilige Länge der Vektoren sind.
Es gibt zwei Vektoren
Im normalen R3 kann man das Kreuzprodukt einfach komponentenweise berechnen:
Zahlenwerte kann man einfach einsetzen:
Graphisch lässt sich das Kreuzprodukt darstellen als:
Der Betrag von
Für das Kreuzprodukt gilt das Kommutativgesetz nicht, sondern:
Sind die Vektoren
Es gibt eine Verallgemeinerung des Kreuzprodukts auf n-dimensionale euklidische Räume, die allerdings nicht mehr nur zwei Vektoren verknüpft, sondern n-1 Vektoren. Das Kreuzprodukt dieser Vektoren ist ein Vektor, der auf allen normal (senkrecht im Sinne des Skalarprodukts) steht und dessen Länge und Richtungssinn von den Längen und der Reihenfolge der Argumente abhängt.
Diese Verallgemeinerung kann man so definieren:
Sei V ein n-dimensionaler euklidischer K-Vektorraum und a1, ..., an-1 Vektoren von V. Dann definiert man das Kreuzprodukt als formale Determinante
Für den R3 mit dem kanonischen Skalarprodukt und der Orthonormalbasis {e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1)} folgt aus der allgemeinen Definition auch die Formel für die Komponenten:
Orientierung
, die senkrecht auf und stehen (diese sind auf derselben Gerade und weisen in entgegengesetzte Richtungen). Den korrekten Vektor bestimmt die Orientierung des Vektorraumes. Das heutzutage verwendete Koordinatensystem ist "rechtshändig" (ein so genanntes Rechtssystem), d.h. sowohl die Koordinatenachsen (x, y und z) als auch die Vektoren , und 
verhalten sich wie Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger der rechten Hand, wenn man sie im rechten Winkel zueinander von der Handfläche wegstreckt (daher oft Rechte-Hand-Regel genannt). Komponentenweise Berechung
Jede Zeile enthält im Kreuzprodukt dabei die Differenz der Produkte über Kreuz der anderen beiden Zeilen, beginnend mit 
. Die Indizes werden zyklisch permutiert. Dann entsteht immer ein Rechtssystem.
Graphische Darstellung
entspricht der Fläche des von und aufgespannten Parallelogramms.Wichtige Eigenschaften
Bei Vertauschung der Vektoren ändert sich also das Vorzeichen. Man sagt auch: Das Kreuzprodukt ist antikommutativ.
und 
parallel, so ist ihr Kreuzprodukt der Nullvektor.Verallgemeinerung
wobei die ai als Koordinatenvektoren bezüglich einer Orthonormalbasis aufgefasst werden und E der Spaltenvektor ist, dessen Komponenten die Basisvektoren sind. Da das nicht Elemente von K (sondern von V) sind, ist das eine formale Determinante, die z.B. durch Entwicklung nach der ersten Spalte berechnet werden kann und einen Vektor in V liefert.Ableitung der Berechnungsformel im R3
Weblinks
