Komposition (Mathematik)

Der Begriff der Komposition bezieht sich in der Mathematik meist auf die Verkettung oder Hintereinanderschaltung von Funktionenen.

Seinen A, B, C beliebige Mengenn und f:A -> B und g: B -> C zwei Funktionenen mit den angegebenen Definitions- und Bildmengen. Dann ist die Komposition g o f (gesprochen: g hinter f) eine Funktion von A nach C, definiert durch die Vorschrift: (g o f) (x)= g(f(x)).

Wird die Menge F(A) aller Funktionen aus einer gegebenen Menge A auf sich selbst betrachtet, so definiert die Komposition eine innere Verknüpfung auf F (A), bezüglich derer F (A) (mit der identischen Abbildung als neutrales Element) ein so genanntes Monoid darstellt. Werden nur bijektive Funktionen herangezogen, ist das Monoid sogar eine (meist nicht-kommutative) Gruppe.

Beispiel:

Sei R die Menge der reellen Zahlen und f:R -> R, g:R -> R definiert durch

f(x)=x², g(x)=x+1.

Dann ist (f o g):R -> R definiert durch

f(g(x))=(g(x))²=(x+1)²

und (g o f):R -> R durch

g(f(x))=f(x)+1=x²+1.

In diesem Fall ist die Verknüpfung ersichtlich nicht kommutativ.