Komplexe Zahlen

Komplexe Zahlen erweitern den Körper der reellen Zahlen derart, dass sämtliche (nicht konstanten) algebraischen Gleichungen auflösbar werden, z. B. nicht nur

(Lösungen x₁ =

und x₂ =

sondern auch

(keine reellen Lösungen).

Komplexe Zahlen werden meist in der Form a + bi dargestellt, wobei a und b reelle Zahlen und i die imaginäre Einheit ist. Für die Menge der komplexen Zahlen wird das Symbol

verwendet.

Table of contents

1 Definition
2 Komplexe Ebene
3 Polardarstellung
4 Naturphilosophische Aspekte der komplexen Zahlen
5 Komplexe Zahlen in der angewandten Mathematik
6 Verwandte Themen

Definition

Die folgende Definition nimmt zunächst keinen Bezug auf die imaginäre Einheit i, sondern erfolgt in der Paarschreibweise:

Eine komplexe Zahl ist ein Paar

zweier reeller Zahlen

und

Für die Addition gilt

(d.h. komponentenweise).

Für die Multiplikation gilt

Die Menge

der Paare reeller Zahlen mit den so definierten Verknüpfungen bildet einen Körper

Die erste Komponente des Paares , also , nennt man den Realteil der komplexen Zahl , den zweiten, also , den Imaginärteil.

Die etwas "merkwürdige" Definition der Multiplikation sorgt dafür, dass sich komplexe Zahlen mit Imaginärteil wie reelle Zahlen verhalten:

Man kann sie mit den entsprechenden reellen Zahlen identifizieren, d.h. jede reelle Zahl ist eine komplexe Zahl mit Imaginärteil Null:

, zum Beispiel

oder

Zugleich bekommt aber die Zahl die Eigenschaft, dass

wird. Somit ist

eine Lösung der obigen Gleichung

; eine zweite Lösung ist

Die komplexe Zahl nennt man die imaginäre Einheit, kurz (oder auch in der Elektrotechnik). Somit kann jede komplexe Zahl in Realteil und Imaginärteil zerlegt werden:

Damit kann von der Paarschreibweise zu einer "gewohnten" Schreibweise übergegangen werden, wobei man neben den reellen Zahlen

jetzt aber eine weitere Zahl

benutzt, die die Eigenschaft

besitzt, und die daher auch als "Wurzel aus -1" aufgefasst wird.

Die Definitionen von Addition und Multiplikation lassen sich dann als übliche Klammerrechnung interpretieren:

Komplexe Zahlen sind im Gegensatz zu reellen Zahlen nicht mehr geordnet, d.h. man kann keine Relation < (kleiner) oder > (größer) zwischen ihnen aufstellen.

Während sich die Menge der reellen Zahlen an einer Zahlengeraden veranschaulichen lässt, kann man die Menge der komplexen Zahlen als Ebene (komplexe Ebene, Gauß'sche Ebene) interpretieren. Die Menge der reellen Zahlen bildet darin die waagerechte Achse, die Menge der rein imaginären Zahlen (d.h. mit Realteil 0) bildet die senkrechte Achse. Eine komplexe Zahl wird als Punkt mit den Koordinaten und dargestellt.

Da die Addition komplexer Zahlen komponentenweise erfolgt, kann sie geometrisch als Pfeiladdition (Vektoraddition) interpretiert werden.

Polardarstellung

Anstatt durch seine Koordinaten a und b kann ein Punkt in der Ebene auch durch den Abstand vom Ursprung und den Winkel zwischen der waagerechten Achse und der Verbindung zum Ursprung beschrieben werden (Polarkoordinaten).

Es gilt dann

sowie

Man nennt

den Betrag und

das Argument der Zahl

. Daraus folgt die Darstellung

Hierin ist

eine komplexe Zahl vom Betrag

und vom Argument

. Sie kann auch als

interpretiert werden, sobald man Potenzen mit komplexen Exponenten eingeführt hat, was durch Potenzreihenentwicklung geschieht. Eine Konsequenz hiervon ist Die bemerkenswerteste Formel der Welt.

Dies ermöglicht auch eine geometrische Interpretation der Multiplikation. Mit

wird

Das bedeutet: bei der Multiplikation komplexer Zahlen werden ihre Beträge multipliziert und ihre Argumente (Winkel) addiert.

Naturphilosophische Aspekte der komplexen Zahlen

Komplexe Zahlen spielen in der Grundlagenphysik eine zentrale Rolle. So passt insbesondere die mathematische Struktur der Quantentheorie exakt zur Struktur der komplexen Zahlenmathematik, die dort nicht weg zu denken ist. In der Relativitätstheorie werden Raum und Zeit zur einer vierdimensionalen Raum-Zeit verknüpft. Substituiert man dazu die Zeit t mittels x₄ = ict durch eine 4. Raumkoordinate x₄, so ergibt sich eine Form der Naturgesetze, in denen diese vier Koordinaten strukturell völlig gleichberechtigt auftreten. So erhält man insbesondere für die Metrik M dieser Raum-Zeit

M = x₁² + x₂² + x₃² + x₄²,

die die gleiche fundamentale Rolle für die Raum-Zeit spielt wie der räumliche Abstand für den gewöhnlichen Raum. In der Praxis hat sich allerdings die Definition x₄ = ct durchgesetzt, was zu einem Minuszeichen in der Gleichung für \M bei x₄² führt. Man vermutet jedoch die Existenz zusätzlicher verborgener Dimensionen der Raum-Zeit, über deren Anzahl und Struktur noch spekuliert wird, so dass der Stellenwert der Substitution x₄ = ict letztlich noch offen ist. Es gilt jedoch als unwahrscheinlich, dass die noch zu entdeckenden Theorie der Quantengravitation, die die beiden Säulen des derzeitigen physikalischen Theoriengebäudes, nämlich die Quanten- und die Relativitätstheorie, vereinigen würde, ohne komplexe Zahlen auskommen würde.

Darüber hinaus ist die Mathematik der komplexen Zahlen der reellen Zahlen hinsichtlich Eleganz und Abgeschlossenheit deutlich überlegen. So ist, um nur ein Beispiel zu nennen, jede differenzierbare komplexe Funktion automatisch unendlich oft differenzierbar, anders als in der Mathematik der reellen Zahlen.

Es hat sich gezeigt, dass komplexe Zahlen tiefer in der Natur und auch in der Mathematik verankert sind, als man zur Zeit ihrer Entdeckung ahnen konnte. Die grundlegende Frage scheint fast weniger zu sein, warum die Quantentheorie so gut zu den komplexen Zahlen passt, sondern warum wir bei der physikalischen Beschreibung unserer Alltagswelt eigentlich so gut mit den reellen Zahlen auskommen.

Komplexe Zahlen in der angewandten Mathematik

Komplexe Zahlen haben in der Physik und Technik eine wichtige Rolle als Rechenhilfe. So lässt sich insbesondere die Behandlung von Differentialgleichungen zu Schwingungsvorgängen vereinfachen, da sich damit die komplizierten Beziehungen in Zusammenhang mit Produkten von Sinus- bzw. Kosinusfunktionen durch Produkte von Exponentialfunktionen ersetzen lassen, wobei lediglich die Exponenten addiert werden müssen. So fügt man dazu beispielsweise in der komplexen Wechselstromrechnung willkürliche aber passende Imaginärteile in die reellen Ausgangsgleichungen ein, die man bei der Auswertung der Rechergebnisse dann wieder ignoriert. Es handelt sich dabei lediglich um einen Rechentrick ohne philosophischen Hintergrund.