Kompakter Raum

Ein kompakter Raum ist ein mathematischer Raum, der einer abgeschlossenen und beschränkten Teilmenge eines euklidischen Raums Rⁿ gleicht.

Table of contents

1 Definition

1.1 Äquivalente Definitionen in Rⁿ

2 Beispiele
3 Sätze
4 Andere Formen von Kompaktheit

Definition

Ein topologischer Raum M heißt kompakt, falls jede offene Überdeckung von M eine endliche Teilüberdeckung hat.

Das bedeutet, dass jedes System von offenen Mengen, deren Vereinigung der gesamte Raum M ist, ein endliches Teilsystem hat, dessen Vereinigung immer noch der gesamte Raum ist.

Einige Autoren verwenden hierfür stattdessen den Begriff 'quasikompakt' und reservieren den Begriff 'kompakt' für kompakte Hausdorff-Räume, aber Wikipedia folgt der üblichen Praxis, dass kompakte Räumen nicht zwingend Hausdorff-Räume sind.

Äquivalente Definitionen in Rⁿ

Für jede Teilmenge M des euklidischen Raumes Rⁿ sind die folgenden drei Aussagen äquivalent:

Jede offene Überdeckung von M hat eine endliche Teilüberdeckung.
Jede Folge in der Menge M hat eine in M konvergente Teilfolge.
Die Menge M ist abgeschlossen und beschränkt.

In anderen Räumen müssen diese Aussagen nicht äquivalent sein, abhängig von den Eigenschaften des Raumes.

Beispiele

Die folgenden Räume sind kompakt:

Das geschlossene Einheits-Intervall [0,1] (jedoch nicht das halboffene Intervall [0,1)).
Die n-Kugel, für alle natürlichen Zahlen n.
Die Cantor-Menge (und die p-adischen Zahlen, welche homöomorph zur Cantor-Menge sind).
Jeder beliebige endliche topologische Raum.
Betrachte die Menge 2^N aller Folgen mit Werten aus {0,1}. Man kann sie in einen metrischen Raum verwandeln, indem man d((x_n),(y_n)) = 1/k definiert, wobei k der kleinste Index ist, so dass x_k ≠ y_k (falls es keinen solchen Index gibt, so sind die beiden Folgen identisch und man definiert ihren Abstand als Null). Dann ist 2^N ein kompakter Raum, ein Folgerung aus dem Satz von Tychonoff (s.u.). Diese Konstruktion kann für jede endliche Menge durchgeführt werden, nicht nur für {0,1}. Der entstehende metrische Raum ist dabei sogar ultrametrisch.
Das Spektrum eines beliebigen stetigen linearen Operators auf einem Hilbertraum ist eine kompakte Teilmenge von C.
Das Spektrum eines beliebigen kommutativen Ringes oder einer booleschen Algebra.
Der Hilbert Würfel.

Die folgenden Räume sind nicht kompakt:

das halboffene Intervall [0,1).
R selbst.
Jedes echte Intervall (also mit mehr als einem Punkt) in Q.

Sätze

Einige Sätze beziehen sich auf Kompaktheit (siehe Topologie-Glossar für Definitionen):

Ein stetiges Bild eines kompakten Raumes ist kompakt.
Eine abgeschlossene Teilmenge eines kompakten Raumes ist kompakt.
Eine kompakte Teilmenge eines Hausdorff-Raumes ist abgeschlossen.
Eine nicht-leere kompakte Teilmenge der reellen Zahlen hat ein größtes und ein kleinstes Element (siehe auch Supremum).
Eine Teilmenge des euklidischen n-Raumes ist kompakt genau dann, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist. (Satz von Heine-Borel)
Ein metrischer Raum ist kompakt genau dann, wenn er vollständig und total beschränkt ist.
Das Produkt einer beliebigen Klasse von kompakten Räumen ist kompakt. (Satz von Tychonoff -- dies ist äquivalent zum Auswahlaxiom)
Ein kompakter Hausdorff-Raum ist normal.
Jede stetige bijektive Abbildung von einem kompakten Raum auf einen Hausdorff-Raum ist ein Homöomorphismus.
Ein metrischer Raum ist kompakt genau dann, wenn jede Folge in dem Raum eine Teilfolge mit Grenzwert in dem Raum hat.
Ein topologischer Raum ist kompakt genau dann, wenn jedes Netz auf dem Raum ein Teilnetz hat, das einen Grenzwert in dem Raum hat.
Ein topologischer Raum ist kompakt genau dann, wenn jeder Filter auf dem Raum eine konvergente Verfeinerung besitzt.
Ein topologischer Raum ist kompakt genau dann, wenn jeder Ultrafilter auf dem Raum konvergiert.
Ein topologischer Raum kann in einen kompakten Hausdorff-Raum eingebettet werden genau dann, wenn er ein Tychonoff Raum ist.
Jeder topologische Raum X ist ein dichter Unterraum eines kompakten Raumes, der höchstens einen Punkt mehr besitzt als X. (Siehe auch Kompaktifizierung.)
Ein metrischer Raum X ist kompakt genau dann, wenn jeder zu X homöomorphe metrische Raum vollständig ist.
Falls der metrische Raum X kompakt ist und eine offene Überdeckung von X gegeben ist, dann existiert eine Zahl δ > 0, so dass jede Teilmenge von X mit Durchmesser < δ in einem Element der Überdeckung enthalten ist. (Zahlen-Lemma von Lebesgue)
Falls ein topologischer Raum eine Subbasis hat, so dass jede Überdeckung des Raumes durch Elemente der Subbasis eine endliche Teilüberdeckung hat, so ist der Raum kompakt. (Alexanders Subbasis-Satz)
Zwei kompakte Hausdorff-Räume X₁ und X₂ sind homöomorph genau dann, wenn ihre Ringe von stetigen reell-wertigen Funktionen C(X₁) und C(X₂) isomorph sind.

Andere Formen von Kompaktheit

Es gibt einige topologische Eigenschaften, die äquivalent zur Kompaktheit in metrischen Räumen sind, aber inäquivalent in allgemeinen topologischen Räumen. Diese beinhalten die folgenden:

Folgenkompakt: Jede Folge hat eine konvergente Teilfolge.
Abzählbar kompakt: Jede abzählbare offene Abdeckung hat eine endliche Unterabdeckung. (Oder, äquivalent, jede unendliche Teilmenge hat einen ω-Häufungspunkt.)
Pseudokompakt: Jede reell-wertige stetige Funktion auf dem Raum ist beschränkt.
Schwach abzählbar kompakt: Jede unendliche Teilmenge hat einen Häufungspunkt.

Während diese Konzepte für metrische Räume äquivalent sind, gibt es im Allgemeinen folgende Beziehungen:

Kompakte Räume sind abzählbar kompakt.
Folgenkompakte Räume sind abzählbar kompakt.
Abzählbar kompakte Räume sind pseudokompakt und schwach abzählbar kompakt.