Isomorphismus
In der Mathematik ist ein Isomorphismus eine Abbildung zwischen zwei mathematischen Strukturen, durch die Teile der einen Struktur auf "bedeutungsgleiche" Teile der anderen Struktur abgebildet werden.
Eine Funktion f zwischen zwei Strukturen heißt Isomorphismus, wenn:
Man beachte, dass bei Gruppen, Ringen, Körpern, Vektorräumen und einigen anderen Strukturen die dritte Bedingung aus den anderen beiden folgt, man im allgemeinen jedoch nicht auf sie verzichten kann, was im Artikel Homöomorphismus an einem Beispiel gezeigt wird.
Oft kann man bestimmte Strukturen nur bis auf Isomorphie eindeutig bestimmen, wie z.B.
zB.: Laplacetransformation; s-Transformation
Sind (X, *) und (Y, +) Mengen mit einer binären Verknüpfung, dann ist ein Isomorphismus von X nach Y eine Bijektion f: X -> Y mit
zB.: log(5) - log(2) = log(5 / 2)
Sind die Strukturen Gruppen, dann heißt ein solcher Isomorphismus Gruppenisomorphismus. Meist meint man mit Isomorphismen solche zwischen algebraischen Strukturen wie Gruppen, Ringen, Körpern oder Vektorräumen.
Sind (X, <=) und (Y, {=) total geordnete Mengen, dann ist ein Isomorphismus von X nach Y eine Bijektion f mit der Eigenschaft
Sind (X, d) und (Y, D) metrische Räume, dann ist ein Isomorphismus von X nach Y eine Bijektion f mit der Eigenschaft
In der universellen Algebra kann man eine allgemeine Definition eines Isomorphismus angeben, die diese und andere Situationen abdeckt. Die Definition eines Isomorphismus in der Kategorientheorie ist noch allgemeiner.
Lässt man in den gegebenen Beispielen die Forderung der Bijektivität weg, erhält man jeweils Homomorphismen.
Siehe auch: MorphismusDefinition
Gibt es einen Isomorphismus zwischen zwei Strukturen, dann dann heißen die beiden Strukturen zueinander isomorph. Isomorphe Strukturen sind in gewisser Weise "dasselbe", nämlich dann, wenn man von der Darstellung der Elemente der zugrundeliegenden Mengen und den Namen der Relationen und Verknüpfungen absieht.
Isomorphismen werden in der Mathematik gern ausgenutzt um einen leichteren Rechenweg zu beschreiten. Durch die oben genannten Definitionen (bijektiv) ist dies möglich. Beispiele
für alle u, v in X.
für alle u, v in X.
Solchen Isomorphismen nennt man ordnungserhaltende Bijektionen.
Sie spielen in der Theorie der Ordinalzahlen eine wichtige Rolle.
für alle u, v in X.
Solche Isomorphismen nennt man Isometrien.
