Hyperbelfunktionen
Die Hyperbelfunktionen sinh und cosh sind für alle komplexe Zahlen definiert und auf dem gesamten Gebiet der komplexen Zahlen holomorph.
Definition über die Exponentialfunktion:
{|
| sinh (z) || :=
| ( exp ( z ) - exp ( - z ) ) / ( 2 )
|-----
| cosh (z) || :=
| ( exp ( z ) + exp ( - z ) ) / ( 2 )
|}
i steht dabei für die komplexe Zahl "Quadratwurzel aus minus 1".
Definition über Reihenentwicklung:
{|
| sinh (z) || :=
| z1/1! + z3/3! + z5/5! + z7/7! + ...
|-----
| cosh (z) || :=
| z0/0! + z2/2! + z4/4! + z6/6! + ...
|}
n! := 1 * 2 * ... * n.Wertebereich der reellen Hyperbelfunktionen:
Die reelle Funktion sinh ist monoton steigend und besitzt in 0 ihren einzigen Wendepunkt.
Die reelle Funktion cosh ist für Werte < 0 streng monoton fallend,
für Werte > 0 streng monoton steigend.Wertebereich der komplexen Hyperbelfunktionen:
sinh
Es seien folgende Teilmengen der komplexen Zahlen definiert:
A := { z | - π/2 < Imaginärteil von z < + π/2 }
B := { z | Realteil von z ungleich 0 oder Imaginärteil von z = ±1 }
Dann bildet die komplexe Funktion sinh den "Streifen" A bijektiv auf B ab.
cosh
Es seien folgende Teilmengen der komplexen Zahlen definiert:
A := { z | 0 < Imaginärteil von z < + π }
B := { z | Imaginärteil von z ungleich 0 oder Realteil von z = ±1 }
Dann bildet die komplexe Funktion cosh den "Streifen" A bijektiv auf B ab.Eigenschaften der komplexen Hyperbelfunktionen:
Für alle komplexen Zahlen z gilt:
Für alle komplexen Zahlen z1 und z2 gilt:
d.h. beide Funktionen sind periodisch mit der Minimalperiode 2 * i * π.Alternative Namen:
Abgeleitete Funktionen:
siehe auch:
