Homomorphismus
(Hinweis: Man kann Homomorphismus noch viel allgemeiner definieren, siehe Morphismus. Für die gewöhnlichen Anwendungen Vektorraum, Gruppen, Ringe, Körper usw. sind aber vielleicht folgende speziellen Definitionen eher ersichtlich.)
Seien A und B zwei Strukturen, z.B. Gruppen, Vektorräume, Ringe, Körper, usw.
Im folgenden bezeichne (A, f, g, h, ..., a, b, c, ...) eine Struktur, so dass A die Trägermenge ist, f, g, h Verknüpfungenen (z.B. "*" oder "+") und a, b, c die jeweils neutralen Elemente dieser Verknüpfungen.
z.B. ist (Z, +, 0) (die Menge der ganzen Zahlen mit der Verknüpfung + und dem neutralen Element 0) eine Gruppe, (R, *, +, 1, 0) (die Menge der reellen Zahlen mit * und + wie in der Schulmathematik) ein Körper. Dann gilt folgendes:
Eine Abbildung f: A -> B heißt
Gruppenhomorphismus zwischen (A, *, 1) und (B,*, 1), wenn für alle a, b ∈ A gilt:
f(a * b) = f(a) * f(b)
Damit folgt trivialerweise auch direkt:
- f(1) = 1, denn es gilt: f(1) = f(1*1) = f(1)*f(1), also f(1) = 1, sowie
-
, denn es gilt 
, und damit aus der Eindeutigkeit des inversen Elementes die Behauptung.
(Der Kern eines Gruppenhom. ist ein Normalteiler von A).
Ringhomomorphismus zwischen (A, *, +, 1, 0) und (B, *, +, 1, 0), wenn für alle a, b ∈ A gilt:
f ist Gruppenhomorphismus bzgl. "+", und
f(a * b) = f(a) * f(b)
Analog zu oben gelten dann auch die direkten Folgerungen f(1) = 1 und 
.
Kern(f) := {a ∈ A : f(a) = 0}
(Der Kern eines Ringhom. ist ein Ideal von A.)
Hinweis: f ist injektiv, genau dann wenn der Kern trivial ist (d.h. nur das neutrale Element aus A enthält).
Beweis:
Sei f injektiv und f(h) = 0. Da f Hom ist, ist f(0) = 0 = f(h), und damit h = 0, da f injektiv. Also ist Kern(f) = {0}. Umgekehrt sei Kern(f) = {0}. Betrachte h und h' mit f(h) = f(h'). Dann ist 0 = f(h) - f(h') = f(h - h'), also h - h' ∈ Kern(f) = {0}. Also ist h - h' = 0, also h = h' und damit f injektiv.
Da ein Körper K nur K und {0} als einzige Ideale hat, ist damit ein Körperhomorphimus insbesondere immer injektiv!
Noch einige Begriffe:
Ein Homomorphismus f heißt:
- Epimorphismus, wenn f surjektiv ist
- Monomorphismus, wenn f injektiv ist
- Isomorphismus, wenn f surjektiv und injektiv, also bijektiv ist
- Automorphismus auf A, wenn f: A -> A Isomorphismus ist.
