Homöomorphismus

In der Topologie ist ein Homöomorphismus ein topologischer Isomorphismus.

Table of contents

1 Definition 2 Beispiele 3 Eigenschaften

Definition

Sind X und Y topologische Räume und f eine Funktion von X nach Y, dann heißt f Homöomorphismus, wenn folgendes gilt:

1. f ist bijektiv.
2. f ist stetig.
3. f^-1 ist stetig.

Ist f: X -> Y ein Homöomorphismus, dann heißt Y homöomorph zu X. Es ist dann auch f^-1 ein Homöomorphismus, also ist X homöomorph zu Y und man sagt, X und Y liegen in derselben Homöomorphieklasse.

Anschaulich kann man sich einen Homöomorphismus als eine "Verformung" vorstellen mit der Eigenschaft, dass nahe beieinander liegende Punkte abgebildet werden auf nahe beieinander liegende Punkte und nicht nahe Punkte auf nicht nahe Punkte. Ein gutes Modell sind die Punkte auf einer Gummihaut, die verzerrt werden kann, aber nicht zerschnitten oder verklebt wird.

Beispiele

Jeder Kreis (mit Radius > 0) ist homöomorph zu jedem Quadrat (mit Seitenlänge > 0) in der euklidischen Ebene R².

Das offene Intervall (0, 1) ist homöomorph zum Raum R aller reellen Zahlen.

Der Produktraum S¹ × S¹ des Einheitskreises S¹ = {x in R²: |x| = 1} mit sich selbst ist homöomorph zum zweidimensionalen Torus (einem Fahrradschlauch).

Die dritte Bedingung, dass die Umkehrfunktion f^-1 stetig ist, ist unerlässlich. Betrachte zum Beispiel die Funktion f: [0, 2π) -> S¹, f(x) = (cos(x), sin(x)). Diese Funktion ist stetig und bijektiv, aber kein Homöomorphismus. Die Umkehrfunktion f^-1 bildet Punkte nahe bei (1, 0) ab auf weit voneinander entfernte Zahlen in der Nähe von 0 und 2π, anschaulich würde der Kreis an der Stelle (1, 0) "zerrissen" und dann flach abgerollt zum Intervall.

Eigenschaften

Wenn zwei topologische Räume homöomorph sind, dann haben sie exakt dieselben topologischen Eigenschaften. Zum Beispiel: Ist der eine kompakt, dann auch der andere, ist der eine zusammenhängend, dann auch der andere, ist der eine hausdorffsch, dann auch der andere.

Dies gilt aber nicht für Eigenschaften, die über eine Metrik definiert sind; es gibt Paare metrischer Räume, die homöomorph sind, obwohl einer der beiden vollständig ist und der andere nicht.