Hilbert-Raum

Ein Hilbert-Raum (nach David Hilbert) ist ein Vektorraum über den reellen Zahlen oder den komplexen Zahlen mit einem Skalarprodukt, der hinsichtlich der durch das Skalarprodukt induzierten Norm vollständig ist, d.h. jede Cauchy-Folge konvergiert.

Der Hilbert-Raum ist eine Verallgemeinerung des Euklidischen Raums bzw. des Unitären Raums. In der Physik wird der Begriff vor allem für unendlich dimensionale Räume verwendet. Hilbert-Räume spielen in der Theorie der Quanten-Physik eine wichtige Rolle insofern, als die Zustände eines quantentheoretischen Systems einen Hilbert-Raum bilden. Bekanntes Beispiel ist die Wellenfunktion aus der Schrödingergleichung .

Beispiele für Hilbert-Räume

• mit der üblichen Multiplikation und dem Absolut-Betrag als Norm
• mit und dem Absolut-Betrag als Norm
• alle endlich dimensionalen Vektorräume über oder mit dem Standard-Skalarprodukt und der euklidischen Norm