Harmonische Schwingung

Eine harmonische Schwingung zeichnet sich dadurch aus, dass die Zeitabhängigkeit ihrer Elongation y(t) sinusförmig ist. Zugleich ist ihre Schwingungsdauer T bzw. Frequenz f unabhängig von der Amplitude y₀. Diese Form der Schwingung entsteht, wenn die rückstellende Größe, die das schwingende System in die Ruhelage zurück treibt, proportional zur Elongation (Auslenkung) ist.

Ein Beispiel ist das Federpendel. Ein Körper der Masse m ist an einer Feder mit der Federkonstante D befestigt. Lenkt man den Körper um das Stück y aus der Ruhelage aus, so wird die Feder gedehnt bzw. gestaucht und übt auf den Körper eine Kraft F aus, die sich gemäß dem Hookeschen Gesetz zu

F = - D · y

berechnet, also proportional zu y ist. Die Kraft wirkt beschleunigend auf den Körper, wobei nach Newtons Kraftgesetz für die Beschleunigung a die Beziehung

a = F/m

gilt. Nun ist die Beschleunigung die zweite Ableitung der Elongation nach der Zeit:

a = d²y(t)/dt² .

Durch Einsetzen ergibt sich hieraus für y(t) die Differentialgleichung

d²y(t)/dt² = - D/m · y(t) ,

die z.B. durch

y(t) = y₀ · sin(2πf · t)

gelöst wird. Darin ist y₀ = y(0) die Amplitude und f = ¹/_2π √(D/m) die Frequenz.

Das schwingende Federpendel stellt einen Oszillator dar, in dem fortwährend Energie zwischen den Formen elastische Energie (Dehnung oder Stauchung der Feder) und kinetische Energie (Bewegungsenergie der Masse) ausgetauscht wird.

Normalerweise ist die Schwingung nicht reibungsfrei, d.h. durch Reibung wird dem System Energie entzogen; die Amplitude nimmt im Laufe der Zeit ab. In der Differentialgleichung tritt dann zur beschleunigenden Kraft F eine Reibungskraft F_R hinzu:

d²y(t)/dt² = - D · y(t) + F_R .

Der genaue Ausdruck für F_R hängt von der Art der Reibung ab. Im Falle trockener Reibung (z.B. Gleitreibung) ist F_R konstant, aber vom Vorzeichen der Elongation abhängig,

F_R = - k · sign(y(t)).

Im Falle dynamischer Reibung (z.B. Luftreibung) ist F_R proportional zur Geschwindigkeit, also zur ersten zeitlichen Ableitung der Elongation:

F_R = - k · dy(t)/dt .

Die entsprechenden Lösungen der Differentialgleichung führen dann zu einer Schwingung mit linear bzw. exponentiell abnehmender Amplitude.