Goldener Schnitt

Table of contents

1 Definition 2 Konstruktion mit Zirkel und Lineal 3 Interdisziplinäres 4 Zahlen und Fakten 5 Goldener Winkel 6 Historisches 7 Literatur

Definition

Der Goldene Schnitt gilt seit der Antike als ideale Proportion für Geometrie, Architektur und Kunst - z.B. für die ästhetische Unterteilung eines Körpers oder einer Buchseite. Der kleinere Teil verhält sich zum größeren wie der größere Teil zum Ganzen.

Eine Strecke mit den Endpunkten A und B wird durch einen dritten Punkt P in zwei Teilstrecken geteilt. Dann teilt P die Strecke AB im Goldenen Schnitt, falls gilt: AP / PB = AB / AP, das heißt die größere Teilstrecke geteilt durch die kleinere ergibt die gleiche Zahl (1,618) wie die ganze Strecke geteilt durch die größere.

Konstruktion mit Zirkel und Lineal

Die Abbildung zeigt die Konstruktion des Goldenen Schnittes mit Zirkel und Lineal:

• Die Grundseite (1) soll im Verhältnis des Goldenen Schnittes geteilt werden.
• (2): Senkrecht dazu wird die Hälfte der Grundseite abgetragen. Eine Diagonale wird gezeichnet.
• (3): Die Länge der Senkrechten wird auf der Diagonalen abgetragen.
• (4): Der Rest der Diagonalen wird auf der Grundseite abgetragen.

Interdisziplinäres

In Architektur und Kunst wurde in der Vergangenheit vielfach darauf geachtet, bei Einteilungen die Teilverhältnisse des Goldenen Schnittes zu wahren, da die Ergebnisse dann als besonders harmonisch empfunden werden.

Der Goldene Schnitt spielt eine besondere Rolle im Pentagramm: Wegen der Symmetrien sind die Strecken AP, AP', A'B und B'B gleich lang. Außerdem sind die Strecken PB, P'P und P'B' gleich lang. Wegen des Strahlensatzes muss gelten

AP / P'P = AB / B'B .

Die bereits gezeigten Beziehungen P'P=PB und B'B=AP führen unmittelbar auf die oben stehende Definitionsgleichung des Goldenen Schnittes.

In der Natur findet sich der Goldene Schnitt beispielsweise im Verhältnis der Längen der Finger- und Armknochen des Menschen zueinander (z.B. das Verhältnis des Unterarmes zum Oberarm).

Zahlen und Fakten

Der Goldene Schnitt ist ein Verhältnis, welches man mit

τ = ( 1+√5)/2 ≈ 1,61803398874989484820458683436564...

oder mit

ρ = 1/τ = (-1+√5)/2 ≈ 0,61803398874989484820458683436564...

angeben kann. Es ist als Irrationale Zahl ein Beispiel für die Inkommensurabilität von Zahlen.

Für den Goldenen Schnitt gelten folgende Beziehungen:

τ = ρ + 1

und

τ = 1/ρ

Außerdem gilt für das Quadrat τ² = τ + 1:

((1+√5)/2)2 = 1+(1+√5)/2 ≈ 2,61803398874989484820458683436564...

In der Trigonometrie gilt unter anderem:

sin(π/10) = (τ-1)/2 (π/10 ist die Hälfte des Winkels in der Spitze des Pentagramms.)

sin(3π/10) = τ/2 (3π/10 ist die Hälfte des stumpfen Außenwinkels des Pentagramms.)

Goldener Winkel

Auch der Goldene Winkel von 137,5 Grad fußt auf dem goldenen Schnitt und kommt sehr häufig in der Natur vor. Gesucht sei beim Kreis der Winkel mit folgender Eigenschaft: Sei b das zugehörige Kreisbogenstück und U der Kreisumfang. Wenn das Verhältnis "kürzeres Kreisbogenstück" zu "restlichem Kreisbogen" gleich dem Verhältnis "restlicher Kreisbogen" zu "Kreisumfang" ist, dann nennt man den Winkel Goldener Winkel:

Auflösung nach der Bogenlänge b ergibt die quadratische Gleichung

b² - 3UB + U² = 0

Eine Lösung dieser Gleichung lautet

b = U/2 · (3 - √5) = πr (3 - √5) mit U = 2πr

Die Länge des "anderen" Bogens auf der Kreislinie ergibt sich aus

U - b = πr (√5 - 1)

Aus der Bogenlänge errechnet sich der zugehörige Winkel mit

α = 180°·b / (πr) = 180°·(3 - √5) ≈ 137,5°

Das Verhältnis der Längen der beiden Bogen ergibt wieder den goldenen Schnitt, wie man leicht nachrechnet:

(U-b)/b = 0,5 (√5 - 1) = 1,61803

Historisches

Bereits Euklid (325 - 270 v. Chr.) erkannte das Streckenverhältnis, das wir heute als Goldener Schnitt bezeichnen im Rahmen seiner Untersuchungen über Platonische Körper. Später beschäftigte sich der Mönch Luca Pacioli di Borgo San Sepolcro (1445 - 1514) mit Euklids Arbeiten. Er nannte diese ästhetisch perfekte Streckenteilung Göttliche Teilung.

Der Begriff Goldener Schnitt wurde erstmals 1835 von Martin Ohm (1792-1872; Bruder von Georg Simon Ohm) benutzt, und zwar in einem Band seines Werkes "Die reine Elementar-Mathematik, weniger abstrakt, sondern mehr anschaulich". Im 19. Jahrhundert glaubten dann viele Wissenschaftler, der Goldene Schnitt sei ein göttliches Naturgesetz. Sie untersuchten daraufhin den Körperbau des Menschen - der "Krone der Schöpfung". Viele Zeichnungen sollen zeigen, dass der menschliche Körper durchaus nach dem Goldenen Schnitt gebaut ist. Adolf Zeising schreibt 1854 in seinem Buch "Neue Lehre von den Proportionen des menschlichen Körpers": Der Goldene Schnitt ist als ästhetisches Gesetz in betreff des Baues des menschlichen Körpers nachgewiesen, insofern bei dessen Länge vom Scheitel bis zur Sohle der Einteilungspunkt nach dem Goldenen Schnitt in die Gegend der Rippengrenze falle.

In der Folge entdecken viele in alten Kunstwerken und Malereien den Goldenen Schnitt, den der Künstler absichtlich oder einfach intuitiv verwendet habe. Beispielsweise wird man fündig an der Cheops-Pyramide, an der Vorderfront des Parthenon-Tempels, an Statuen von griechischen Bildhauern usw. Der Architekt und Maler Le Corbusier (1887-1965) verwendete in seinen Entwürfen bewusst möglichst oft den Goldenen Schnitt.

Literatur

• Hans Walser: Der Goldene Schnitt, Teubner (ISBN 3-8154-2511-5) oder vdf (ISBN 3-7281-2336-6).

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Siehe auch: Fibonacci-Zahlen

zh-cn:黄金分割