Gleichung

Eine Gleichung ist in erster Linie ein mathematisches Gebilde, so dass in diesem Artikel die mathematische Bedeutung voran gestellt wird. Weitere, davon abgeleitete Bedeutungen werden am Schluss definiert.

Eine Gleichung ist ein mathematischer Operator, welche die Gleichheit zweier Werte behauptet. Wesentlicher formaler Bestandteil jeder Gleichung ist das Gleichheitszeichen. Den Gegensatz zu den Gleichungen bilden die Ungleichungen, die nicht die Gleichheit zweier Werte, sondern deren Unterschied feststellt.

Eine Gleichung kann wahr (z. B. 1=1) oder falsch sein (1=2). Wenn eine Gleichung von Variablen abhängig ist, hängt die Wahr- oder Falschheit von dem von den konkreten eingesetzten Werten der Variablen ab. Die Menge an Werten der Variablen, für die die Gleichung wahr ist, bezeichnet man als Lösungsmenge der Gleichung. Wenn es sich bei der Lösungsmenge um eine leere Menge handelt, so bezeichnet man die Gleichung als unerfüllbar.

- Bsp. Die Gleichung x² = 1 besitzt die Lösungsmenge {1, -1}

Gleichungen können ebenso

nur für bestimmte Fälle korrekt sein
- Beispiel: Satz des Pythagoras a² + b² = c²: Nur richtig für rechtwinklige Dreiecke
etwas definieren (in diesem Fall wird das zu definierende generell links geschrieben, und das Gleichheitszeichen oft durch := ersetzt oder über das Gleichheitszeichen "def" geschrieben)
- Beispiel: Definition der Ableitung einer Funktion: f '(x) = lim_h→0 (f(x+h)-f(x))/h
eine Forderung aufstellen. In diesem Fall wird über das Gleichheitszeichen meist ein Ausrufezeichen geschrieben.
Beziehungen mit einer oder mehreren Unbekannten beschreiben
- Beispiel: Quadratische Gleichung ax² + bx + c = 0

Befinden sich in einer Zeile mehrere Gleichheitszeichen, so spricht man von einer Gleichungskette. In einer Gleichungskette sind alle durch Gleichheitszeichen getrennten Ausdrücke vom Wert her gleich. Dabei ist jeder dieser Ausdrücke als Ganzes zu betrachten. Die Gleichungskette
17+3=20:2=10+7=17 ist also falsch, weil sie in Einzelgleichungen zerlegt zu falschen Aussagen führt (17+3 ist nicht gleich 20:2 u.s.w.). Richtig ist dagegen
17+3=18+2=21-1=40:2.

Gleichungen sind auch die Form, in der viele physikalische Zusammenhänge aufgeschrieben werden, z.B. E=mc².
In der Chemie sind Redox-Gleichungen von Bedeutung.

Siehe auch: Liste der Ungleichungen - Lösen von Gleichungen\n