Gesetz der großen Zahlen

Das Gesetz der großen Zahlen besagt, dass sich die relative Häufigkeit eines Zufallsergebnisses immer weiter an die theoretische Wahrscheinlichkeit für dieses Ergebnis (Erwartungswert) annähert, je häufiger das Zufallsexperiment durchgeführt wird.

Table of contents

1 Beispiel:
2 Praktische Bedeutung
3 schwaches Gesetz der großen Zahlen
4 starkes Gesetz der großen Zahlen

Beispiel:

{| |----- align="right" bgcolor="#CCCCCC" ! rowspan="2" | Anzahl Würfe ! colspan="2" | davon Kopf ! colspan="2" | Verhältnis ! rowspan="2" | absoluter Abstand |----- align="right" bgcolor="#CCCCCC" ! theoretisch ! beobachtet ! theoretisch ! beobachtet |----- bgcolor="#EEEEFF" align="right" | 100 || 50 || 48 || 0.500 || 0.480 || 2 |----- bgcolor="#EEEEFF" align="right" | 1000 || 500 || 491 || 0.500 || 0.491 | 9 |----- bgcolor="#EEEEFF" align="right" | 10000 || 5000 || 4970 || 0.500 || 0.497 | 30 |}

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Münze beim Werfen Kopf zeigt, beträgt ½. Je häufiger die Münze geworfen wird, desto näher wird der Anteil der Würfe, bei denen Kopf erscheint, beim theoretischen Wert ½ liegen. Trotzdem kann der absolute Abstand zwischen dem theoretischen und dem tatsächlich beobachteten Ergebnis immer weiter anwachsen. Man kann also aus dem Gesetz der großen Zahlen nicht die Schlussfolgerung ziehen, wenn ein Ereignis bislang nicht so häufig eintrat wie erwartet, muss es diesen Rückstand ausgleichen und folglich in Zukunft häufiger vorkommen.

Praktische Bedeutung

Versicherungen: Das Gesetz der großen Zahl hat bei Versicherungen eine große praktische Bedeutung. Es erlaubt eine ungefähre Vorhersage über den künftigen Schadensverlauf. Je größer die Zahl der versicherten Personen, Güter und Sachwerte, die von der gleichen Gefahr bedroht sind, desto geringer ist der Einfluss des Zufalls.

Das Gesetz der großen Zahl kann aber nichts darüber aussagen, wer im einzelnen von einem Schaden getroffen wird. Unvorhersehbare Großereignisse und Trends wie der Klimawandel, die die Berechnungsbasis von Durchschnittswerten verändern, können das Gesetz zumindest teilweise unbrauchbar machen.

Medizin: Beim Wirksamkeitsnachweis von medizinischen Verfahren kann man es ausnutzen, um Zufallseinflüsse auszuschalten.
Naturwissenschaften Der Einfluss von Messfehlern kann durch häufige Versuchwiederholungen reduziert werden.

schwaches Gesetz der großen Zahlen

Das schwache Gesetz der großen Zahlen besagt, dass für eine unendliche Folge von Zufallsvariablen X₁, X₂, X₃, ... , die alle den selben Erwartungswert μ und die selbe endliche Varianz σ² haben sowie unkorreliert sind (d.h., Die Korrelation zwischen zwei beliebigen ist Null), dann konvergiert die repräsentative Stichprobe

wahrscheinlich gegen μ. genauer: Für jede positive Zahl ε (beliebig klein) gilt:

Die Tschebyscheff-Ungleichung wird zum Beweis dieses Satzes verwendet.

starkes Gesetz der großen Zahlen

Das starke Gesetz der großen Zahlen besagt, dass für eine unendliche Folge von Zufallsvariablen X₁, X₂, X₃, ... , die unabhängig und identisch verteilt sind sowie den selben Erwartungswert μ haben, gilt:

d.h. die repräsentative Stichprobe konvergiert fast sicher gegen μ.