Galoistheorie
Galoistheorie ist der Bereich der Algebra, der die Symmetrie der Nullstellen (auch Wurzeln) von Polynomen untersucht. Diese Symmetrien werden normalerweise durch symmetrische Gruppen dargestellt, welche in der Tat von Evariste Galois erfunden wurden, um damit die Symmetrie der Wurzeln zu beschreiben.Die Galoistheorie hat viele Anwendungen bei klassischen Problemen, wie etwa "Welche regulären Polygone lassen sich mit Zirkel und Lineal konstruieren?", "Warum kann ein Winkel nicht dreigeteilt werden." (wieder nur mit Zirkel und Lineal) und "Warum gibt es keine geschlossene Formel zur Berechnung der Nullstellen von Polynomen fünften oder höherem Grad, die nur mit den vier Grundrechenarten und Wurzelziehen auskommt?" (Der Satz von Abel-Ruffini.)
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Was genau verstehen wir unter "Symmetrie der Nullstellen von
Polynomen"? Eine solche Symmetrie ist eine Permutation der
Nullstellen, sodass jede algebraische Gleichung auch dann noch gültig
ist, nachdem man die Nullstellen vertauscht hat. Diese Permutationen
bilden eine Gruppe. Abhängig von den Koeffizienten, die wir in den
algebraischen Gleichungen erlauben, erhalten wir unterschiedliche
Galoisgruppen.
Betrachten wir beispielsweise das Polynom
2(x2-5)2-24. Wir wollen die Galoisgruppe dieses
Polynoms "über dem Körper der rationalen Zahlen" beschreiben (d.h. wir
wollen nur rationale Zahlen in den Koeffizenten der invarianten
algebraischen Gleichungen erlauben.) Die Wurzeln der Polynome sind
Weniger offensichtlich ist die Tatsache, dass
(a+b)2=8. Deshalb können wir (a,b) auf
(c,d) abbilden, da wir auch (c+d)2=8
haben. Aber wir können nicht (a,b) auf (a,c) abbilden,
da (a+c)2=12. Andererseits können wir (a,b)
auf (c,d) abbilden, obwohl a+b=2√2 und
c+d=-2√2, da die Gleichung a+b=2√2 eine
irrationale Zahl enthält (√2) und wir für solche Gleichungen
nicht verlangt haben, dass die Galoisgruppe diese invariant lässt.
Nimmt man diese Informationen alle zusammen, so erhält man, dass die
Galoisgruppe nur die folgenden vier Permutationen enthält und isomorph
zur kleinschen Vierergruppe ist:
Beim modernen Ansatz wurde der Formalismus ein wenig geändert um eine
präzise und allgemeinere Definition zu erhalten: Man beginnt mit einer
Körpererweiterung L/K und definiert die Galoisgruppe als die
Gruppe aller Körperautomorphismen von L, welche die Elemente von K
fest halten. Im Beispiel oben, berechnen wir die Galoisgruppe der
Körpererweiterung Q(a,b,c,d)/Q.
Die Kenntnisse über auflösbare Gruppen in der Gruppentheorie erlaubt
uns, herauszufinden, ob ein Polynom durch Radikale auflösbar ist, und
zwar abhängig davon, ob dessen Galoisgruppe auflösbar ist, oder
nicht. Jede Körpererweiterung L/K gehört zu einer Faktorgruppe der
Hauptreihe der Galoisgruppe. Falls eine Faktorgruppe der Hauptreihe
zyklisch von Ordnung n ist, ist die zugehörige Körpererweiterung eine
radikale Erweiterung und die Elemente von L können als die n-ten
Wurzeln eines Elements aus K aufgefasst werden.
Wenn alle Faktorgruppen der Hauptreihe zyklisch sind, wird die
Galoisgruppe als auflösbar bezeichnet und alle Elemente des
zugehörigen Körpers können durch sukzessives Wurzelziehen,
Produktbilden und Summieren aus den Elementen des Grundkörpers
(normalerweise Q) erhalten werden.
Einer der größten Triumpfe der Galoistheorie war der Beweis, dass für
jedes n>4 ein Polynom mit Grad n existiert, welches nicht
durch Radikale auflösbar ist. Dies beruht auf der Tatsache, dass für
n>4 die Symmetrsche Gruppe Sn einen einfachen
nichtzyklische Normalteiler enthält.Klassischer Ansatz
Es gibt 24 Möglichkeiten, diese vier Zahlen zu permutieren, aber nicht
alle dieser Permutationen sind Elemente der Galoisgruppe. Alle
Gleichungen, die die Variablen a,b,c und d enthalten
müssen durch die Galoisgruppe invariant bleiben. Eine solche Gleichung
ist a+d=0. Deshalb ist die Permutation, die a und b gleich lässt und c
und d vertauscht nicht erlaubt, da durch diese a auf a abgebildet wird
und d auf c, aber a+c nicht 0 ist.
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. Moderner Ansatz
