Funktionalanalysis

Die Funktionalanalysis ist der Zweig der Mathematik, der sich mit dem Studium von Funktionenräumen beschäftigt. Ihre historischen Wurzeln liegen im Studium von Transformationen wie der Fourier-Transformation, und der Untersuchung von Differential- und Integralgleichungen. Der Wortbestandteil "funktional" geht zurück auf die Variationsrechnung, bei der Funktionen untersucht werden, deren Argumente Funktionen sind.

Aus moderner Sicht besteht die Funktionalanalysis aus dem Studium vollständiger normierter Vektorräume über den reellen oder komplexen Zahlen. Solche Räume heißen Banachräume. Ein wichtiges Beispiel sind Hilberträume, bei denen die Norm von einem Skalarprodukt erzeugt wird. Diese Räume sind von grundlegender Bedeutung für die mathematische Formulierung der Quantenmechanik. Etwas allgemeiner werden in der Funktionalanalysis auch Fréchet-Räume und andere topologische Vektorräume untersucht, die keine Norm haben.

Ein wichtiger Untersuchungsgegenstand sind stetige lineare Operatoren auf Banach- oder Hilbert-Räumen.

Hilberträume können vollständig klassifiziert werden: Für jede Mächtigkeit einer Basis existiert (bis auf Isomorphie) genau ein Hilbertraum. Da endlich-dimensionale Hilberträume von der linearen Algebra erfasst werden und jeder Morphismus zwischen Hilberträumen zerlegt werden kann in Morphismen von Hilberträumen der Dimension (Aleph Null, siehe Abzählbarkeit), betrachtet man in der Funktionalanalysis hauptsächlich den Hilbertraum der Dimension Aleph Null und seine Morphismen.

Banachräume sind dagegen viel komplexer. Es gibt zum Beispiel keine praktisch nutzbare allgemeine Definition einer Basis (z.B. ist eine Basis vom unter Basis (Vektorraum) beschriebenen Typ hier meist nicht-konstruktiv, lässt sich also nicht explizit angeben).

Für jede reelle Zahl p ≥ 1 gibt es den Banachraum "aller Lebesgue-messbaren Funktionen, deren p-te Potenz des Betrags ein endliches Integral hat" (siehe Lp-Raum).

Beim Studium von Banachräumen ist die Untersuchung des Dualraumes ein wichtiger Teil. Der Dualraum besteht aus allen stetigen linearen Funktionen vom Banachraum in die reellen (oder komplexen) Zahlen. Wie in der linearen Algebra muss auch hier der Dualraum des Dualraums nicht isomorph zum ursprünglichen Raum sein, aber es gibt stets einen Monomorphismus von einem Raum in das Dual seines Dualraums.

Der Begriff der Ableitung lässt sich auf Funktionen zwischen Banachräumen so verallgemeinern, dass die Ableitung in einem Punkt eine stetige lineare Abbildung ist.