Fourier-Transformation
Die Fourier-Transformation ist eine Frequenz-Transformation, die eine Funktion in ihre Sinus- und Kosinus-Bestandteile (Basisfunktionen) mit verschiedenen Frequenzen zerlegt. Entsprechend dieser physikalisch inspirierten Betrachtungweise wird die Transformation einer Funktion in den Frequenzbereich auch als Fourieranalyse:
Alternativ kann man als Basisfunktion auch die Exponentialfunktion mit imaginärem Argument (also exp(iwt) oder eiwt) verwenden, da in diesem Fall der Realteil der Exponentialfunktion dem Kosinus und der Imaginärteil dem Sinus entspricht. Diese Form nennt man auch komplexe Fourier-Transformation, da die transformierte Funktion komplexe Werte annimmt und die zu transformierende Funktion komplexe Werte annehmen kann.
Je nach Definitionsmenge A der zu transformierenden Funktion und Definitionsmenge B der transformierten Funktion unterscheidet man:
- Fourier-Reihe (A: Intervall - meist -&pi bis +π B: Ganze Zahlen)
- Diskrete Fourier-Transformation (A: Teilbereich der natürlichen Zahlen - meist 0...N-1; B: wie A)
- Kontinuierliche Fourier-Transformation (A: Reelle Zahlen; B: wie A)
Verallgemeinerung
Als verallgemeinerte Fouriertransformation wird jede Zerlegung einer Funktion in ein System von Basisfunktionen bezeichnet. Dabei müssen die Basisfunktionen geeignet gewählt werden, so dass die Zerlegung eindeutig und umkehrbar ist: sie müssen ein vollständiges Orthonormalsystem im betrachteten Funktionenraum bilden.
Die Fouriertransformation wird vor allem eingesetzt, um mit Differentialgleichungen einfacher zu rechnen.
Im Bereich der Digitaltechnik bei Signalprozessoren wird oft die Fast Fourier-Transformation (FFT) verwendet, bei der die Anzahl der Rechenschritte zur Berechnung der Fourierkoeffizienten wesentlich kleiner ist.
