Faktorring

In der Algebra bezeichnet man eine bestimmte Art von Ringen als Faktorring. Es handelt sich dabei um eine Verallgemeinerung der Restklassenringe ganzer Zahlen.

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1 Definition 2 Beispiele 3 Eigenschaften

Definition

Ist R ein Ring und I ein (beidseitiges) Ideal von R, dann bildet die Menge R/I = {a+I | a in R} der Äquivalenzklassen modulo I mit folgenden Verknüpfungen einen Ring:

[a] + [b] := [a+b]

[a] * [b] := [a*b]

Dabei bezeichnet [a]=a+I={a+i | i aus I} die Äquivalenzklasse von a aus R und +,* die Verknüpfungen von R.

Diesen Ring nennt man den Faktorring R modulo I oder auch Quotientenring. (Er hat weder mit dem Ring der Quotienten, der bei der Lokalisation eines Ringes auftritt, noch mit dem Quotientenkörper eines Integritätsrings etwas tun.)

Beispiele

Die Menge nZ aller ganzen Vielfache von n ist ein Ideal in Z, und der Faktorring Z/nZ ist ein Restklassenring.

Ist R ein Integritätsring und f ein Polynom in T über R, dann ist die Menge R[T]*f=:(f) aller Polynom-Vielfachen von f ein Ideal im Polynomring R[T], und R[T]/(f) = {g + (f) | g aus R[T]} ist der Faktorring R[T] modulo f.

Betrachten wir z.B. das Polynom f = T²+1 über dem Körper R der reellen Zahlen. Das Polynom T² liegt in derselben Äquivalenzklasse modulo f wie -1, denn f teilt T²-(-1). Also:

f teilt T²-(-1), d.h. T² = -1 (mod f), d.h. [T²] = [-1]

Wollen wir nun z.B. [T+1]*[T+2] in R[T]/(f) bestimmen, ermitteln wir

[T+1]*[T+2] = [(T+1)*(T+2)] = [T²+3T+2] = [3T+1]

Dieser Faktorring ist isomorph zum Körper der komplexen Zahlen (T entspricht der imaginären Einheit i).

Man erhält alle endlichen Körper als Faktorringe der Polynomringe über den Restklassenkörpern Z/pZ.

Eigenschaften

Ist R ein Integritätsring und I ein Primideal, dann ist R/I ein Integritätsring.

Ist R ein Integritätsring und I ein maximales Ideal, dann ist R/I ein Körper.

Ist K ein Körper und \f ein irreduzibles Polynom über K, dann ist (f) ein maximales Ideal in K[T] und deshalb ist K[T]/(f)=:L ein Körper. Dieser Körper ist ein Oberkörper von K, in dem f zerfällt (der Zerfällungskörper von f). Die Körpererweiterung L/K ist endlich und algebraisch.