Einheit (Mathematik)

In der Mathematik versteht man unter einer Einheit in einem kommutativen unitären Ring (Ring mit 1) (R,+,*,0,1) jeden Teiler von 1 (dem neutralen Element der Multiplikation).

Wenn also für spezielle a, b ∈ R gilt: a * b = 1, so nennt man a und b Einheiten.

Die Menge der Einheiten R^* := { x | ∃ y : x * y = 1 } ist mit der Multiplikation eine Gruppe.

Beispiele

• 1 ist immer eine Einheit (weil 1*1=1).
• 0 ist nie eine Einheit (außer für 1=0, aber dann hat der Ring nur dieses eine Element und ist uninteressant.)
• In einem Körper ist R^* = R \\ {0}, also außer der 0 jedes Element eine Einheit.
• Im Ring der ganzen Zahlen gibt es nur die Einheiten 1 und -1.
• Im Ring Z[i] der ganzen gaußschen Zahlen gibt es die vier Einheiten 1, -1, i, -i.

Der nichtkommutative Fall

Ist der unitäre Ring R nicht kommutativ, dann benötigt man Begriffe für einseitige Einheiten.

• Ein Element a, das die Bedingung ab = 1 für ein Element b erfüllt, heißt Linkseinheit.
• Ein Element a, das die Bedingung ba = 1 für ein Element b erfüllt, heißt Rechtseinheit.
• Ein Element a heißt Einheit, falls es sowohl ein Element b gibt mit ab = 1 und ein Element c mit ca = 1.

In einem kommutativen Ring stimmen die drei Begriffe überein.

Es gibt aber z.B. den folgenden Ring R, in dem es eine Linkseinheit A gibt, die keine Rechtseinheit ist, und eine Rechtseinheit B, die keine Linkseinheit ist. Außerdem sind A und B noch einseitige Nullteiler.

R bestehe aus allen Matrizen der Größe "abzählbar-mal-abzählbar" mit Komponenten in den reellen Zahlen, bei denen in jeder Zeile und in jeder Spalte nur endlich viele Nicht-Nullen stehen (insgesamt dürfen dabei unendlich viele Nicht-Nullen enthalten sein). R ist ein Ring mit der gewöhnlichen Matrix-Addition und -Multiplikation. Die Einheitsmatrix E hat nur Einsen auf der Hauptdiagonalen und sonst Nullen, sie ist das Einselement von R (das neutrale Element der Multiplikation).

A sei die Matrix in R, die in der ersten oberen Nebendiagonalen nur Einsen hat und sonst nur Nullen:

B sei die Transponierte von A, also die Matrix, die in der ersten Diagonalen unterhalb der Hauptdiagonalen nur Einsen hat, und sonst nur Nullen.

Es ist AB = E, also ist A eine Linkseinheit und B eine Rechtseinheit. Für jedes Element C von R hat aber das Produkt CA in der ersten Spalte nur Nullen, und das Produkt BC in der ersten Zeile nur Nullen. Damit kann A keine Rechtseinheit und B keine Linkseinheit sein. Mit der Matrix D, die nur in der Komponente D_1,1 eine Eins und sonst nur Nullen enthält, ist AD = 0 und DB = 0, also ist A ein Linksnullteiler und B ein Rechtsnullteiler.