Eigenvektor

Die Begriffe Eigenwert und Eigenvektor treten immer gemeinsam in der Linearen Algebra auf.

Eigenvektoren eines linearen Operators (etwa durch eine Matrix dargestellt) sind Vektoren, auf welche die Anwendung des Operators (etwa die Multiplikation mit der Matrix) ein skalares Vielfaches ihrer selbst ergeben. Der Nullvektor kann definitionsgemäß nicht ein Eigenvektor sein. Den entsprechenden Skalar nennt man Eigenwert.

Ist A eine (n, n)-Matrix, so heißt ein Eigenvektor zum Eigenwert λ, wenn gilt:

Berechnung der Eigenwerte

Die Eigenwerte lassen sich durch Lösung folgender Gleichung bestimmen, wobei |M| die Determinante einer (n,n)-Matrix M und E die Einheitsmatrix bezeichnet:

Die Auflösung der Determinante liefert ein Polynom n. Grades in λ, die charakteristische Gleichung. Deren Auflösung liefert die n Eigenwerte λ₁, ..., λ_n.

Gleiche Eigenwerte fasst man zusammen, so dass sich k (≤ n) Eigenwerte λ₁, ..., λ_k mit ihren Vielfachheiten v_i ergeben.

Kennt man die Eigenwerte und ihre Vielfachheiten, kann man die Jordansche Normalform der Matrix erstellen.

Berechnung der Eigenvektoren

Für einen Eigenwert λ lassen sich die Eigenvektoren aus der Gleichung

bestimmen. Die Eigenvektoren spannen einen Raum auf, dessen Dimension der Vielfachheit des Eigenwertes entspricht. Für einen Eigenwert λ der Vielfachheit v lassen sich also Eigenvektoren e₁, ..., e_v finden, so dass sich die Menge aller Eigenvektoren zu λ gleich der Menge der Linearkombinationen von e₁, ..., e_v ist. e₁, ..., e_v heißt dann Basis von Eigenvektoren zum Eigenwert λ.