Disjunkt (Mengenlehre)

In der Mengenlehre heißen zwei Mengen A und B disjunkt oder elementfremd, falls sie kein gemeinsames Element besitzen.

Table of contents

1 Definitionen 2 Beispiele und Eigenschaften 3 Verwandtes Konzept: Linear Disjunkt

Definitionen

Gleichbedeutend dazu ist folgende formale Definition:

Zwei Mengen A und B heißen disjunkt, wenn A geschnitten mit B leer ist:

Mehrere Mengen heißen paarweise disjunkt, wenn je zwei von ihnen disjunkt sind.

Eine disjunkte Mengenfamilie

ist eine Familie von paarweise disjunkten Mengen. Es gilt also

für .

Die Vereinigung M eines disjunkten Mengensystems bezeichnet man als disjunkte Vereinigung und schreibt sie als

Ein Mengensystem U von Teilmengen einer Menge X heißt Partition von X, wenn gilt:

• die Vereinigung von U ist ganz X,
• U ist eine disjunkte Familie,
• die leere Menge ist nicht Element von U.

Beispiele und Eigenschaften

A={1,2,3} und B={7,8,11} sind disjunkt. A={1,2,7} und B={6,7,8,11} sind nicht disjunkt, da sie die 7 gemeinsam besitzen.

A={1,2,3}, B={3,4,5}, C={5,6,7} sind nicht paarweise disjunkt, obwohl kein Element in allen drei Mengen enthalten ist (und A und C disjunkt sind).

Zwei Nebenklassen gU, hU einer Untergruppe U einer Gruppe G sind entweder gleich oder disjunkt. Damit ist die Menge G/U aller Nebenklassen von U eine Partition von G.

Die Mächtigkeit einer disjunkten Vereinigung ist gleich der Summe der Einzelmächtigkeiten.

Verwandtes Konzept: Linear Disjunkt

In der abstrakten Algebra gibt es den Begriff der Linearen Disjunktheit von Zwischenkörpern einer Körpererweiterung, der mit der Disjunktheit im mengentheoretischen Sinne nur gemeinsam hat, dass die Schnittmenge linear disjunkter Körper kleinstmöglich ist.