Banachraum
Banachräume, benannt nach Stefan Banach, der sie studierte, gehören in der Mathematik zu den zentralen Objekten der Studien der Funktionalanalysis. Banachräume sind üblicherweise unendlich-dimensionale Funktionenrenräume.
| Table of contents |
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2 Beispiele 3 Lineare Operatoren 4 Ableitungen 5 Dualer Raum 6 Verallgemeinerungen 7 Links |
Banachräume sind definiert als vollständige, normierte Vektorräume.
Das bedeutet, dass ein Banachraum ein Vektorraum
Im Folgenden sei
Die vertrauten euklidischen Räume
Der Raum aller stetigen Funktionen
Sei
Der Banachraum l∞ besteht aus allen beschränkten Folgen mit Elementen aus '
Wiederum, falls
Jeder Hilbertraum ist ein Banachraum, aber nicht umgekehrt.
Sind
Man bemerke, dass in unendlich-dimensionalen Räumen nicht alle linearen Abbildungen notwendigerweise stetig sind. L(V, W) ist ein Vektorraum, und indem man die Norm ||A|| = sup { ||Ax|| : x in V mit ||x|| ≤ 1 } definiert, kann er in einen Banachraum verwandelt werden.
Der Raum L(V) = L(V, V) bildet sogar eine unitäre Banach-Algebra; die Multiplikationsoperation ist gegeben durch die Komposition linearer Abbildungen.
Es ist möglich die Ableitung einer Funktion f : V -> W zwischen zwei Banachräumen zu definieren. Intuitiv sieht man, dass, falls x ein Element von V ist, die Ableitung von f im Punkt x eine stetige lineare Abblidung ist, die f nahe x approximiert.
Formell gesprochen nennt man f differenzierbar in x, falls eine stetige lineare Abbildung A : V -> W existiert, so dass
Dieser Begriff der Ableitung ist eine Verallgemeinerung der gewöhnlichen Ableitung von Funktionen '
Falls
Differentiation ist eine lineare Operation im folgenden Sinne: sind f und g zwei Abbildungen V - W, die in x differenzierbar sind, und r und s sind Skalare aus
Die Kettenregel ist in diesem Zusammenhang ebenfalls gültig: falls f : V -> W differenzierbar ist in x aus V und g : W -> X differenzierbar ist in f(x), dann ist die Komposition g o f differenzierbar in x und die Ableitung ist die Komposition der Ableitungen:
Ist
Es gibt eine natürliche Abbildung
Einige wichtige Räume in der Funktionalanalysis, zum Beispiel der Raum aller unendlich oft differenzierbaren Funktionen
Definition
über den reellen oder komplexen Zahlen ist mit einer Norm 
, so dass jede Cauchy-Folge (mit Rücksicht auf die Metrik 
) einen Grenzwert in hat.Beispiele
einer der Körper 
oder 
.
,
wo die euklidische Norm von 
gegeben ist durch
,
sind Banachräume.
auf einem abgeschlossenen Intervall 
wird zu einem Banachraum, wenn man die Norm solch einer Funktion als
definiert.
Dies ist in der Tat eine Norm, da stetige Funktionen auf einem abgeschlossenen Intervall beschränkt sind.
Der Raum ist vollständig unter dieser Norm und der resultierende Banachraum wird geschrieben als
.
Dieses Beispiel kann auf den Raum C(X) aller stetiger Funktionen
verallgemeinert werden, wobei 
ein kompakter Raum ist, oder auf den Raum aller beschränkten stetigen Funktionen , wobei ein beliebiger topologischer Raum ist, oder sogar auf den Raum 
aller beschränkten Funktionen
wobei eine beleibige Menge ist. In all diesen Beispielen kann man Funktionen multiplizieren und im selben Raum bleiben: diese Beispiele sind in Wirklichkeit unitäre Banach-Algebren.
eine reelle Zahl, so kann man den Raum aller endlichen Folgen (
) mit Elementen aus betrachten, so dass die unendliche Reihe ∑ |xi|p konvergiert. Diee p-te Wurzel des Wertes dieser Reihe sei dann definiert als die p-Norm der Folge. Der Raum zusammen mit dieser Norm ist ein Banachraum; er wird bezeichnet mit l p. die Norm solch einer Folge ist definiert als das Supremum der Absolutbeträge der Elemente der Folge. eine reelle Zahl ist, kann man alle Funktionen f : [a, b] -> betrachten, wobei |f|p Lebesgue-integrierbar ist. Die p-te Wurzel aus diesem Integral sei dann die Norm von f. An sich ist dieser Raum noch kein Banachraum, denn es gibt Funktionen, die nicht Null sind, ihre Norm jedoch wohl. Man definiert eine Äquivalenzrelation wie folgt: f und g sind äquivalent genau dann, wenn die Norm von f - g Null ist. Die Menge der Äquivalenzklassen bildet dann einen Banachraum; er wird bezeichnet mit L p[a, b]. Es ist entscheidend, hier das Lebesgue-Integral zu verwenden und nicht das Riemann-Integral, denn das Riemann-Integral würde keinen vollständigen Raum ergeben. Lineare Operatoren
und 
Banachräume über demselben Körper , so wird die Menge aller stetigen -linearen Abbildungen 
mit 
bezeichnet.Ableitungen
Der Grenzwert wird hier über alle Folgen mit nicht-Null-Element aus V gebildet, die gegen 0 konvergieren.
Falls der Grenzwert existiert, schriebt man Df(x) = A und nennt es die Ableitung von f in x. 
, da die linearen Abbildungen von auf einfach Multiplikationen mit reellen Zahlen sind.
differenzierbar ist in jedem Punkt x aus V, dann ist Df : V -> L(V, W) eine weitere Abbildung zwischen Banachräumen (im Allgemeinen keine lineare Abbildung!), und kann möglicherweise erneut differenziert werden, wodurch die höheren Ableitungen von f definiert werden. Die n-te Ableitung im Punkt x kann somit als multilineare Abbildung 
gesehen werden., dann ist rf + sg differenzierbar in x mit D(rf + sg)(x) = rD(f)(x) + sD(g)(x).Dualer Raum
ein Banachraum und der zugrundeliegende Körper, dann ist selbst ebenfalls ein Banachraum (mit dem Absolutbetrag als Norm) und man kann den dualen Raum definieren durch 
.
Dieser ist wiederum ein Banachraum.
Er kann verwendet werden, um eine neue Topologie auf zu definieren: die schwache Topologie. 
von auf V'' definiert durch
für alle x aus und aus 
.
Wie es aus dem Satz von Hahn-Banach folgt, ist diese Abbildung injektiv;
falls sie zudem noch surjektiv ist, so nennt man den Banachraum V reflexiv.
Reflexive Räume haben viele wichtige geometrische Eigenschaften.
Ein Raum ist reflexiv genau dann wenn sein Dual reflexiv ist, was der Fall ist genau dann wenn seine Einheitskugel in der schwachen Topologie kompakt ist.Verallgemeinerungen
oder der Raum aller Distributionen auf , sind zwar vollständig aber keine normierten Vektorräume und daher keine Banachräume.
In Fréchet-Räumen hat man noch eine vollständige Metrik, während LF-Räume vollständige uniforme Vektorräume sind, die als Grenzwerte von Fréchet-Räumen auftauchen.Links
Weitere mathematische Räume siehe unter Raum (Mathematik)
