Aussagenlogik
Die Aussagenlogik (englisch: propositional logic od. pr. calculus), auch (veraltet) Urteilslogik, ist ein Bereich der Logik, der sich mit der logischen Bewertung von Aussagen befasst.
Die Implikation ist ein wichtiges Mittel in der Mathematik. Die meisten
mathematischen Sätze sind eine Implikation.
¬(A und B) <=> (¬A) oder (¬B)
Beispiel:
Aussage "A und B": n ist teilbar durch 2 und n ist teilbar durch 3
Verneinung: ¬(n ist teilbar durch 2 und n ist teilbar durch 3) <=> (n ist
nicht teilbar durch 2) oder (n ist nicht teilbar durch 3)
¬(A oder B) <=> (¬A) und (¬B)
Beispiel:
Aussage "A oder B": n ist teilbar durch 2 oder n ist teilbar durch 3
Verneinung: ¬(n ist teilbar durch 2 oder n ist teilbar durch 3) <=> (n ist
nicht teilbar durch 2) und (n ist nicht teilbar durch 3)
Schreibweise: A <=> B
Angewandt auf die Beispiele:
Beispiel 1: Alle Autos sind grün.
Verneinung: Nicht alle Autos sind grün <=> Es gibt (mindestens) ein Auto, das
nicht grün ist. (Natürlich gibt es auch grüne Autos.)
Beispiel 2: Für alle ganzen Zahlen n gilt: n2 ist eine Primzahl.
Verneinung: Es gibt (mindestens) eine ganze Zahl n mit der Eigenschaft
n2 ist keine Primzahl.
Beispiel 1: Es gibt (mindestens) eine ganze Zahl n mit der Eigenschaft: n ist
durch 3 teilbar und n ist nicht durch 6 teilbar.
Beispiel 2: Es gibt (mindestens) einen Deutschen der lügt.
Man sagt: B ist notwendig für A. Ohne B kann A nicht erfüllt sein.
Ferner ist A hinreichend für B. Es reicht aus, dass A wahr ist. Dann ist
auch B wahr.
Beispiel 1: n ist durch 6 teilbar => n ist durch 3 teilbar
Teilbarkeit durch 3 ist notwendig für die Teilbarkeit von 6. Wenn n nicht durch 3 teilbar ist, dann kann n auch nciht durch 6 teilbar sein.
Teilbarkeit durch 6 ist hinreichend für die Teilbarkeit durch 3. Wenn man weiß, dass n durch 6 teilbar ist, dann reicht dies aus um zu wissen, dass n auch durch 3 teilbar ist.
Teilbarkeit durch 3 ist zwar notwendig, aber nicht hinreichend für die
Teilbarkeit durch 6. 9 ist durch 3 teilbar (notwendige Bedingung erfüllt), aber 9 ist nicht teilbar durch 6.
Beispiel 2: x hat einen BMW => x hat ein Auto
Man muss Besitzer eines Autos sein, d.h es ist notwendig, um überhaupt einen BMW besitzen zu können. Hat man kein Auto, kann man nicht gleichzeitig einen BMW haben, da man ja andernfalls ein Auto hätte.
Es ist allerdings hinreichend der Besitzer eines BMW zu sein, um mit Wahrheit sagen zu können man habe eine Auto.
Beispiel 3: n ist durch 6 teilbar <=> n ist durch 3 teilbar und n ist gerade
Sie Aussage "n ist durch 3 teilbar und n ist gerade" ist notwendig und
hinreichend für die Teilbarkeit durch 6.
Als Aussagen gelten Sätze, die als wahr oder falsch bestimmt werden können. Diese werden als logische Aussagen bezeichnet. Die Aussagenlogik beschäftigt sich mit dem korrekten Folgern, d.h. dem Schließen von Voraussetzungen (Prämissen) auf eine Schlussfolgerung (Konklusion).
In der klassischen Aussagenlogik muss der Aussage dabei entweder wahr oder falsch zugeordnet werden, d.h. es gibt nur zwei Werte (Zweiwertigkeitsprinzip, tertium non datur).
Aussagen können mit zweistelligen Operatoren verknüpft werden:
Aussagen, die immer, d.h. für alle Belegungen ihrer Variablen, wahr sind (z.B. p v ~p), heißen Tautologien, Aussagen, die für alle Belegungen falsch sind (z.B. p & ~p), heißen Kontradiktionen.
Die Aussagenlogik ist eine Ausprägung der Booleschen Algebra. Der nächste komplexere Logikformalismus ist die Prädikatenlogik.
Umgangssprachliche Einleitung
Einfache Aussage
Eine Aussage A ist eine Behauptung, die entweder wahr (w,true) oder nicht wahr
(f,falsch,false) ist. Dies gilt sowohl für einfache als auch für verknüpfte
Aussagen. "Halbwahrheiten" gibt es nicht.
Beispiele für einfache Ausagen:
A2 ist offensichtlich wahr, A4 dagegen ist falsch. A1 muss man zunächst prüfen
bevor man entscheiden kann, ob A1 wahr oder falsch ist. Ob A3 wahr ist kann man derzeit nicht entscheiden. Das wird sich erst am Ende der Fussballsaison
herausstellen.
D.h. eine Aussage ist entweder wahr oder nicht wahr, auch wenn man (noch) nicht
in der Lage ist, den Wahrheitsgehalt zu beurteilen. Dies ist zum Beispiel bei den ungelösten mathematischen Problemen der Fall.Mit nicht-verknüpfte Aussage - Negation
Das Gegenteil bzw die Verneinung einer Aussage A erhält man immer dadurch, dass
man der Aussage A das Wort nicht geeignet einfügt. Formal schreibt man für
"nicht A" ¬A.
Wir verneinen die obigen Beispiele:
Allgemein gilt für die Verneinung:
Näheres dazu im Abschnitt "Für alle ...".und-verknüpfte Aussage - Konjunktion
Man kann 2 Aussagen A und B miteinander verknüpfen durch das Wort und.
Dadurch erhält man eine neue Aussage C.
Sprechweise: A und B
Schreibweise: 
Die Aussage C ist immer dann wahr, wenn sowohl A als auch B jeweils wahr sind.
Andernfalls ist C falsch, nämlich dann, wenn A oder B oder beide Ausagen falsch
sind.
Beispiel für eine und-Verknüpfung:
In diesem Beispiel sind die Teilaussagen A = "9 ist durch 3 teilbar" und B = "9
ist eine Quadratzahl" bzw. deren Verneinung miteinander verknüpft.
Nur C1 = "A und B" ist wahr, weil A wahr ist und auch B wahr ist.
C2 = "¬A und B" ist falsch, weil ¬A falsch ist.
C3 = "A und ¬B" ist falsch, weil ¬B falsch ist.
C4 = "¬A und ¬B" ist falsch, weil sowohl ¬A als auch ¬B falsch
ist.oder-verknüpfte Aussage - Disjunktion
Man kann 2 Aussagen A und B miteinander verknüpfen durch das Wort oder und erhält so eine neue Aussage C.
Sprechweise: A oder B
Schreibweise:
Die Aussage C ist immer dann wahr, wenn mindestens eine der Teilaussagen A oder B wahr ist bzw. wenn beide Teilaussagen wahr sind. Andernfalls ist C falsch,
nämlich dann, wenn sowohl A als auch B falsch sind.
Beispiel für eine oder-Verknüpfung:
In diesem Beispiel sind die Teilaussagen A = "9 ist durch 3 teilbar" und B = "9
ist eine Quadratzahl" bzw. deren Verneinung miteinander verknüpft.
Nur C8 = "¬A oder ¬B" ist falsch, weil ¬A falsch ist und auch ¬B falsch ist.
C5 = "A oder B" ist wahr, weil sowohl A als auch B wahr sind.
C6 = "¬A oder B" ist wahr, weil B wahr ist.
C7 = "A oder ¬B" ist wahr, weil A wahr ist.Folgerungen - Implikation
Wenn man aus einer wahren Aussage A schließen kann, dass dann auch die Aussage B wahr ist, spricht man von einer Implikation.
Schreibweise: A => B
Sprechweisen:
Beispiele:
Aus einer wahren Folgerung A => B kann man eine weitere wahre Folgerung
ableiten, nämlich ¬B => ¬A. Für die Beispiele bedeutet dies:
Umgangssprachlich lässt man sich gelegentlich zu weiteren - falschen - Aussagen
verleiten:
Das bedeutet: Wenn die Folgerung A => B wahr ist, dann erhält man aus der
Aussage ¬A keine Aussage über B; B kann wahr oder falsch sein.
Diese Folgerung ist falsch, da die Straße auch aus anderen Gründen nass werden kann (Rohrbruch, Übung der Feuerwehr ...)
falsch, denn er könnte ja einen Mercedes haben
Auch diese Folgerung ist falsch. Die Zahl 15 ist nicht durch 6 teilbar, wohl aber durch 3.Verneinung einer und-verknüpften Aussage
Die Verneinung zu der Aussage "A und B" lautet:
Aussage A: die ganze Zahl n ist durch 2 teilbar
Aussage B: die ganze Zahl n ist durch 3 teilbarVerneinung einer oder-verknüpften Aussage
Die Verneinung zu der Aussage "A oder B" lautet:
Aussage A: die ganze Zahl n ist durch 2 teilbar
Aussage B: die ganze Zahl n ist durch 3 teilbarGleichwertige Aussagen - Äquivalenz
Zwei Aussagen A und B sind äquivalent, wenn gilt: A => B und umgekehrt B => A.
Sprechweisen:
Beispiel:
Auch die Verneinung einer Äquivalenz ist richtig:
Wenn n durch 6 teilbar ist, dann folgt daraus, dass n durch 2 und durch 3 teilbar ist. Umgekehrt gilt: Wenn n durch 2 und durch 3 teilbar ist, dann ist n durch 6 teilbar.
A <=> B kann man auch verneinen ¬A <=> ¬B
teilbar) <=> (n ist nicht durch 2 teilbar) oder (n ist nicht durch 3 teilbar)
Verneinung von Aussagen "Für alle ..."
Will man eine Aussage "für alle Objekte gilt die Aussage A" verneinen, dann
erreicht man dies zunächst durch Voranstellen von "nicht" und späteren
"Ausmultiplizieren":
¬(für alle Objekte gilt die Aussage A) <=>
Es existiert (mindestens) ein Objekt mit ¬A (A ist nicht wahr)Verneinung von Aussagen "Es existiert ..."
Will man eine Aussage "Es existiert (mindestens) eine ganze Zahl n für die gilt: Aussage A(n) ist wahr" verneinen, dann erreicht man dies zunächst durch
Voranstellen von "nicht" und späteren "Ausmultiplizieren":
¬(Es existiert (mindestens) eine ganze Zahl n für die gilt: Aussage A(n)
ist wahr) <=>
Für alle ganzen Zahlen n gilt ¬A(n)
Verneinung: Für alle ganzen Zahlen n gilt: ¬(n ist durch 3 teilbar und n ist nicht durch 6 teilbar) <=> Für alle ganzen Zahlen n gilt: n ist nicht durch 3 teilbar oder n ist durch 6 teilbar.
Verneinung: Alle Deutschen sagen die Wahrheit.Die Begriffe "notwendig" und "hinreichend"
Betrachten wir die Implikation A => B.Formaler Zugang
Sie können auch negiert werden:
Es können auch aussagenlogische Sprachenn definiert werden, die mit weniger Operatoren arbeiten.
Eine solche Sprache muss funktional vollständig sein, d.h. die vorhandenen Operatoren müssen mächtig genug sein, um alle booleschen Funktionen nachbilden zu können. Es gibt zwei Operatoren, mit denen alleine schon eine Aussagenlogik definiert werden kann: NAND (Nicht-Und, die negierte Konjunktion) und NOR (Nicht-Oder, die negierte Disjunktion).Weiterführende Informationen
Siehe auch
Prädikatenlogik, Wahrheitstabelle
