Algebraische Zahlen

Eine algebraische Zahl ist eine komplexe Zahl x, die Nullstelle eines Polynoms

mit rationalen oder ganzzahligen Koeffizienten ist.

Die Menge aller algebraischen Zahlen ist ein Oberkörper der rationalen Zahlen. Dieser Körper entsteht aus den rationalen Zahlen durch Hinzunahme der Nullstellen aller Polynome mit rationalen Koeffizienten.

Die Erweiterung der reellen Zahlen zu den komplexen Zahlen geschieht dagegen bereits durch Hinzunahme einer einzigen Nullstelle, nämlich von i (das durch i² = -1 definiert ist, also eine Nullstelle von X²+1 ist).

Table of contents

1 Beispiele 2 Eigenschaften 3 Verallgemeinerung

Beispiele

Beispielsweise ist die Wurzel aus 2 eine algebraische Zahl, denn sie ist die Lösung der Gleichung x² - 2 = 0. Ebenso ist jede Nullstelle von x³ - 17x² + 5 algebraisch.

Andererseits sind π (Kreiszahl pi) und 'e' (Eulersche Zahl) nicht algebraisch, da es kein Polynom mit rationalen Koeffizienten gibt, das diese Zahlen als Nullstelle besitzt. Zahlen, die in den komplexen, aber nicht in den algebraischen Zahlen liegen, werden "transzendent" genannt. Völlig unbekannt ist noch, ob π + e algebraisch oder transzendent ist.

Ein Resultat der Galoistheorie ist, dass zwar jede komplexe Zahl algebraisch ist, die man aus rationalen Zahlen durch Verwendung der Grundrechenarten +,-,*,/ und Ziehen n-ter Wurzeln (n eine natürliche Zahl) erhalten kann (man nennt solche Zahlen "durch Radikale darstellbar"), umgekehrt aber algebraische Zahlen existieren, die man nicht in dieser Weise darstellen kann; alle diese Zahlen sind Nullstellen von Polynomen des Grades >= 5.

Eigenschaften

Die Menge der algebraischen Zahlen ist abzählbar.

Die Menge der algebraischen Zahlen bildet einen Körper.

Der Körper der algebraischen Zahlen ist algebraisch abgeschlossen, d. h. jedes Polynom mit algebraischen Koeffizienten besitzt nur algebraische Nullstellen. Dieser Körper ist der kleinste algebraisch abgeschlossene Oberkörper von Q, und ist damit der algebraische Abschluss von Q.

Oberhalb des Körpers der rationalen Zahlen und unterhalb des Körpers der algebraischen Zahlen befinden sich unendlich viele Zwischenkörper; etwa die Menge aller Zahlen der Form a + b*q, wobei a und b rationale Zahlen sind, und q die Quadratwurzel einer rationalen Zahl r ist. Auch der Körper der mit Zirkel und Lineal aus {0,1} konstruierbaren Punkte der komplexen Zahlenebene ist ein solcher algebraischer Zwischenkörper.

Im Rahmen der Galoistheorie werden diese Zwischenkörper untersucht, um so tiefe Einblicke über die Lösbarkeit oder Nicht-Lösbarkeit von Gleichungen zu erhalten.

Algebraische Zahlen, die sogar Nullstellen eines normierten Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten sind, heißen algebraische Ganzzahlen. Die algebraischen Ganzzahlen, die rational sind, sind genau die ganzen Zahlen. Die algebraischen Ganzzahlen bilden einen Unterring der algebraischen Zahlen.

Verallgemeinerung

Beginnt man mit einem beliebigen Körper statt den rationalen Zahlen, und fügt Nullstellen von Polynomen über diesem Körper hinzu, gelangt man zu algebraischen Erweiterungen, deren Elemente algebraisch über dem Grundkörper sind.