Abgeschlossenheit

In der Mathematik tritt der Begriff Abgeschlossenheit in zwei Bedeutungen auf.

Abgeschlossene Menge

Ist M eine Teilmenge eines topologischen Raums A, dann heißt M abgeschlossen, wenn sein Komplement A\\M eine offene Menge in A ist.

Für einen metrischen Raum ist folgende Bedingung äquivalent:

Eine Teilmenge M eines metrischen Raums A ist abgeschlossen, falls der Grenzwert jeder konvergenten Folge mit Werten aus M wiederum in M liegt. D.h.

ist konvergent in A, dann ist

Dieser Teil sollte in den Artikel abgeschlossene Menge eingehen.

Abgeschlossen bezüglich einer Verknüpfung

Ist * eine innere zweistellige Verknüpfung auf einer Menge A, dann heißt das, * ist eine Funktion von A×A nach A. Ist nun M eine Teilmenge von A, dann heißt M abgeschlossen bezüglich *, wenn a*b in M liegt für alle a, b aus M, wenn also * auch eine innere zweistellige Verknüpfung auf M ist.